Понятие начальных и предначальных условий. Правило коммутации в общей форме. Точное решение уравнения.

Все, что происходило в цепи до коммутации либо известно, либо может быть найдено. Решением задачи является то, что происходит после коммутации. Так как x(t) может быть разрывно, то для описания его введем следующие обозначения:

0^- - момент времени непосредственно перед коммутацией, предначальный момент

0⁺ - начальный момент времени

Правило коммутации: за исключением только одного особого случая, потокосцепление в индуктивностях и заряды в емкостях при коммутации непрерывны.

Процедура точного решения УК, описывающих динамику ЛЦ.

1. По ранее сформированной процедуре составляем уравнение (1) и преобразуем его в (3)

2. По следующей процедуре решаем составленное уравнение с точностью до постоянных интегрирования

3. Анализируем цепь до коммутации и находим предначальные условия

4. По правилу коммутации гаходим начальные условия

5. В начальный момент времени строим схему замещения цепи, в которой все емкости заменены ИН, все индуктивности – ИТ. Получаем R-цепь с независимыми и управляемыми источниками.

6. Составляем для полученной цепи УК и решаем его, находим все остальные начальные значения переменных, не подчиняющиеся правилу коммутации

7. Найденные начальные условия и соответствующий им момент времени подставляем в решение, записанное с точностью до постоянных интегрирования. В итоге формируем систему уравнений относительно постоянных интегрирования, решаем ее, находим постоянные интегрирования и записываем точное решение уравнения динамики цепи.

Понятие состояния цепи, переменных и уравнений состояния. Точное решение уравнений состояния.

Состоянием цепи называется та минимальная информация, которая необходима для того, чтобы начиная с некоторого момента времени однозначно описать дальнейшее поведение цепи.

Переменными состояния называются те координаты (токи и напряжения) , которые определяют состояние цепи.

Уравнениями состояния называются уравнения, составленные относительно переменных состояния. Должны иметь вид:

Процедура анализа цепи с помощью уравнений состояния

1. В качестве искомых переменных помимо обязательных i_u(t), u_i(t) выбирают i_L(t), u_C(t). В остальных цепях, содержащих только сопротивления, можно выбирать ток и напряжение безразлично, так как в дальнейшем они будут исключены

2. По ранее сформированной процедуре составляем уравнение (3)

3. Формируют вектор x(t) и составленное уравнение (3) преобразуют к виду (4), то есть исключают все переменные, не являющиеся переменными состояния

4. По ранее сформированной процедуре уравнение (4) решают с точностью до постоянных интегрирования

5. Анализируем цепь до коммутации и находим предначальные значения переменных состояния

6. По правилу коммутации находим начальное значение переменных состояния

7. На основании уравнения (4) формируем выражения для N-1 производной переменных состояния и находим эти производные

8. Формируем систему алгебраических уравнений относительно постоянных интегрирования. Решаем ее, находим постоянные интегрирования и записываем ответ