Элементы структуры цепи. Постулаты Кирхгофа. Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа.

Элементы структуры цепи.

1. Узел – зажим, к которому присоединены 2 или более элементов и источников. Узел, где соединяются только 2 элемента называется устранимым и на схемах не показывается.

2. Ветвь – совокупность последовательно соединенных элементов и источников между двумя узлами

3. Контур – замкнутая последовательность ветвей и узлов, обходя которую в выбранном направлении каждую ветвь и каждый узел проходим только один раз.

Постулаты Кирхгофа.

1. Для узлов: алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к узлу всегда равна 0.

2. Для контуров: алгебраическая сумма напряжений ветвей и разрывов при обходе контура всегда равна 0.

Рассмотрим произвольную цепь. Из определения независимых источников следует, что для ИН всегда неизвестен ток, а для ИТ – напряжение. Для остальных элементов неизвестными можно принимать токи или напряжения. Число неизвестных соответствует числу ветвей. Запишем систему уравнений Кирхгофа. Направления искомых токов и полярности искомых напряжений укажем произвольно. Условимся, токи, втекающие в узлы, брать со знаком «+», а вытекающие со знаком «-». Направления обхода контуров выберем произвольно. Условимся, если при обходе контура первым на элементе встречается знак «+», то берем напряжение элемента со знаком «+».

Рассмотрим произвольную цепь, содержащую n узлов и m ветвей. Общее число неизвестных – m. На основании закона сохранения заряда можно сделать вывод, что из общего числа n уравнений для узлов линейно независимыми будут n-1. Тогда определяется число уравнений для цепи: m-(n-1). Сформулируем правило, позволяющее из всего множества уравнений для контура выбрать линейно независимые.

Некоторые сведения из топологии.

топология – раздел математики, изучающий неметрические свойства геометрических фигур.

узел – точка в пространстве.

ветвь (ребро) – линия, соединяющая 2 узла.

граф – совокупность узлов и ветвей.

плоский (планарный) граф – граф, который можно изобразить на плоскости так, что его ветви будут пересекаться только в узлах.

изоморфный граф – граф, полученный из данного простой перестановкой ветвей и узлов.

топологический (ненаправленный) граф – граф, движение в котором от узла к узлу вдоль ветвей не задано.

сигнальный (направленный) – наоборот.

путь – однонаправленная последовательность ветвей и узлов, двигаясь вдоль которой каждый узел и каждую ветвь проходим только один раз.

контур – замкнутый путь.

связный граф – граф, в котором от узла до любого другого узла есть путь.

сечение – совокупность ветвей, которые нужно удалить, чтобы данный граф распался на 2 несвязных.

подграф – граф, содержащий не все узлы и ветви исходного.

дерево – минимальный связный подграф данного графа.

ветви связей – совокупность ветвей, которые нужно удалить из графа для образования дерева.

Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа.

Пусть дан топологический граф, содержащий n узлов и m ветвей. Если составить дерево графа, то число образовавшихся ветвей связи будет равно m-(n-1). Если цепи поставить в соответствие граф, то число ЛН уравнений по закону токов Кирхгофа будет соответствовать числу сечений. А число ЛН уравнений по закону напряжений будет равно числу ветвей связи. Присоединяя к дереву ветвь связи будем получать контур.

Всякой цепи содержащей n узлов и m ветвей можно поставить в однозначное соответствие топологический граф, если каждому узлу цепи соответствует узел графа, а каждой ветви – ветвь.

Процедура формирования системы ЛНУ Кирхгофа:

1. Назначаем m искомых переменных, в состав которых обязательно входят токи через НИН, напряжения на НИТ и напряжения или токи в остальных ветвях цепи. Назначаем знаки искомых напряжений и направления искомых токов.

2. Анализируемой цепи ставим в однозначное соответствие топологический граф

3. Отсекая поочередно n-1 узел выполняем m-1 сечение

4. Образуем одно из возможных деревьев, содержащее m-1 ветвь и соответствующую этому дереву систему ветвей из m-(n-1) ветвей

5. Присоединяя к дереву поочередно по одной ветви связи отмечаем независимые контуры, каждый из которых содержит вновь присоединенную ветвь связи

6. Назначаем направление тока в независимых контурах, направления их обхода и знаки в уравнениях постулатов Кирхгофа.

7. Записываем систему ЛНУ Кирхгофа для сечений и контуров.