Метод узловых напряжений.
Заключается в том, что в качестве искомых переменных вводят напряжения независимых узлов, отсчитывая их от напряжения зависимого узла, которое принимается равным 0. Таким образом, здесь нет фиктивных переменных.
Общий случай метода.
Должны действовать только ИТ.
Правила формирования матричного уравнения.
Gii – собственная проводимость i-го узла. Равна сумме проводимостей всех ветвей, подключенных к этому узлу.
Gij – взаимная проводимость i-го и j-го узлов. Равна сумме проводимостей всех ветвей соединяющих i-й и j-й узлы. Все взаимные проводимости имеют знак «-»
U – вектор искомых напряжений
I – вектор токов ИТ. i-я строка этой матрицы равна сумме токов ИТ, подключенных к этому узлу. Если ток втекает в узел, то «+».
Процедура МУН в общем случае.
Преобразуем все ИН в эквивалентные ИТ
Назначаем систему независимых узлов и, следовательно, убираем зависимые. Если это позволяют условия задачи, то напряжение зависимого узла назначают равным 0
По записанным правилам формируют матричное уравнение Ома
Решить уравнение
Найти напряжения элементов цепи. Эти искомые напряжения ищем как разность узловых, причем вычитаем от «+» к «-».
Примечание: В силу глубокой формализации задачи так же как и в МКТ можно записывать готовый ответ сразу как только пронумерованы независимые узлы.
Исключительный случай МУН.
Если 1 непреобразуемый ИН: зависимым узлом назначаем узел, к которому подключен «-» непреобразуемого ИН.
Если более 1: с одним поступают известным образом. Все остальные формально заменяют на ИТ. В этом случае для каждого из них имеет место:
Переформированная система уравнений формально не будет содержать непреобразуемые ИН, однако перестанет быть разрешимой, следовательно, ее надо дополнить уравнением Кирхгофа для какого-нибудь независимого контура, одной из ветвей которого служит непреобразуемый ИН.
Особенности расчета активных цепей.
ИТУН годится. Остальные должны быть преобразованы.
Особенности расчета нелинейных цепей.
Основная особенность в том, что можно получить не единственное решение.
Процедура составления уравнений МУН в нелинейном случае.
Выбираем зависимый узел и назначаем его напряжение равным 0
Нумеруем все независимые узлы
Записываем УК для независимых узлов, определяя их через искомые узловые напряжения
Составленную систему решают обычным образом.
Достоинства МУН.
Оперирует с физически существующими переменными, поэтому нет необходимости составления системы уравнений связи.
Глубокая формализация задачи, которая позволяет в линейном пассивном случае сразу записать готовый ответ
Все взаимные проводимости имеют знак «-»
Существенное понижение порядка решаемой задачи
Примечание общее для МКТ и МУН: постулат Кирхгофа формирует необходимые условия для анализа любой цепи. В МКТ и МУН впервые выделяют из необходимых достаточные условия, которых оказывается меньше.
Дуальность эц.
Все цепи делятся на 2 равновеликих половины: одни описываются МКТ, а другие получатся, если вместо напряжений поставить токи, вместо токов напряжения, вместо узлов контуры и т.д.
Каждую цепь можно преобразовать в ей дуальную. Правило дуального перехода справедливо для всех линейных пассивных планарных цепей.
МКТМУН.
В качестве независимых контуров выбираем элементарные ячейки графа цепи. В качестве зависимого контура назначают все внешнее пространство
Назначаем одинаково направления обходов контуров
На плоскости назначаем независимые узла, каждый из которых соответствует независимому контуру и зависимый узел, соответствующий зависимому контуру, напряжение которого полагаю равным 0
Соединяют НУ и ЗУ ветвями, дуально соответствующими ветвям исходной цепи, т.е. последовательное соединение преобразуется в параллельное и наоборот, ИТ в ИН, R в G, L в C, соблюдая при этом численное равенство значений элементов и источников.
Примечание: Одинаковые направления обхода НК и ЗК необходимы чтобы обеспечить «-» для всех взаимных сопротивлений, которые перейдут в проводимости. Для планарных цепей справедливо МКТ<->МУН, для непланарных возможно только МУНМКТ.