Формирование обобщенной модели нелинейной детерминированной цепи с сосредоточенными параметрами. Формулировка общей задачи анализа динамики эц.

Детерминированными называются сигналы и параметры, имеющие определенное описание. Сосредоточенными называются параметры, не распределенные в пространстве.

Сводя воедино уравнения Кирхгофа для узлов и контуров в единую систему ЛН дифференциально интегральных уравнений можно описать этот результат в следующем виде: , гдеx(t) – вектор искомых токов и напряжений, f(t) – вектор приложенных воздействий, F – некоторая вектор-функция, L – некоторый линейный оператор.

Общей задачей анализа динамики ЭЦ называется составление и решение последнего уравнения, то есть задача отыскания x(t), превращающего это уравнение в тождество.

Метод эквивалентного преобразования источников.

Метод предназначен для эквивалентного преобразования независимых и зависимых источников напряжения в независимые и зависимые источники тока и наоборот. ИН последовательно с резистором преобразуется в ИТ параллельно с резистором.

Эквивалентность относительно зажимов подразумевает, что никакое внешнее измерение на этих зажимах не позволит обнаружить подключены к ним ИН или ИТ.

Исключительный случай ИТ.

Из общего случая метода видно, что для эквивалентного преобразования ИТИН необходимо, чтобы параллельно ИТ было подключено сопротивление. Если это не так, используется прием «расщепление ветви»

Исключительный случай ИН.

Исключительный случай, когда последовательно с ИН нет резистора. «Расщепление узла»

Непреобразуемые соединения: последовательно или параллельно соединения ИН и ИТ.

Примечание: при доказательстве метода и рассмотрении его частных случаев нигде не пользовались принципом суперпозиции. Метод годен также и в тех случаях, когда нагрузка нелинейна.

Метод контурных токов.

Заключается во введении фиктивных переменных, называемых контурными токами. Контурные токи обтекают ветви независимых контуров и не подчиняются постулату Кирхгофа. Истинные токи связаны с КТ уравнениями связи, которые восстанавливают постулаты Кирхгофа для узлов. Таким образом введение КТ позволяет осуществить декомпозицию задачи.

Общий случай метода.

Из существа метода следует, что цепь должна содержать ИН.

Правила формирования матричного уравнения Ома.

1. Элементы главной диагонали R_ii – собственные сопротивления i-го контура, равны сумме сопротивлений ветвей, образующих контур. R_ij – взаимное сопротивление i-го и j-го контуров, равно сумме сопротивлений ветвей общих для этих контуров. Если токи в общих ветвях совпадают, то эта сумма «+»

2. Матрица-столбец I – искомые контурные токи

3. U – матрица напряжений ИН, включенных в цепь. В i-ой строке этой матрицы записывают сумму напряжений всех ИН включенных в контур. Эта сумма «+», если контурный ток протекает по ИН от – к +.

Процедура МКТ.

1. Преобразуем все допускающие преобразование ИТ в ИН.

2. Обычным образом формируем какую-либо систему независимых контуров

3. Назначаем систему контурных токов, указывая для них направления обхода независимых контуров и нумеруя их

4. По описанным правилам формируем R и U

5. Составленное матричное уравнение обычным образом решаем относительно I

6. На основании постулатов Кирхгофа для сечений или узлов составляем систему уравнений связи между истинными и контурными токами и находим токи.

Исключительный случай метода.

Из определения и общей процедуры метода следует, что исключительным будет случай, когда в цепи есть один или несколько ИТ, не преобразуемых эквивалентно в ИН. В этом случае систему независимых контуров нельзя образовывать вполне произвольно; необходимо ее выбрать так, чтобы через каждую ветвь, содержащую ИТ протекал только один КТ. По определению этот КТ известен, он равен току непреобразуемого ИТ и, следовательно, из матричного уравнения Ома необходимо вычеркнуть соответствующую строку, а все члены стоящие в этом столбце переместить в правую часть.

Процедура исключительного случая МКТ.

1. Выбираем систему независимых контуров так, чтобы ветви, содержащие непреобразуемые ИТ принадлежали разным независимым контурам, каждая своему.

2. Назначаем направление обхода НК, при этом КТ, протекающие через непреобразуемые ИТ могут совпадать с направлением токов в этих источниках, а могут и не совпадать. В любом случае, они заведомо известны.

3. Формируем матричное уравнение RI=U, в котором оказываются неопределенными элементы R_ii контуров, содержащих непреобразуемые ИТ.

4. Вычеркиваем соответствующие строки и столбцы, переносим все элементы уравнений в остальных строках из вычеркнутых столбцов в правую часть, получим равносильную систему уравнений, которую далее решаем обычным образом.

5. Составим систему уравнений связи между истинными токами и найденными КТ.

Особенности расчета линейных активных цепей.

Только ИНУТ годится для применения МКТ, остальные должны быть к нему преобразованы. ИНУН можно всегда преобразовать в ИНУТ. Если ИТУН и ИТУТ преобразуются, то задача сводится к общему случаю, если нет – исключительный. Указанные преобразования носят формальный характер, поэтому следует всегда помнить об их физической природе.

Расчет нелинейных цепей.

Основная особенность нелинейных цепей в том, что они могут иметь много решений. Исследуют их, заменяя нелинейные характеристики кусочно-линейными моделями. Это возможно, если НЛ характеристики элементов достаточно гладкие.

Достоинства МКТ:

1. Глубокая формализация задачи, благодаря которой, по крайней мере, в линейном случае сразу после формулировки задачи можно записать ответ

2. Существенное понижение размерности задачи благодаря ее декомпозиции

Недостатки МКТ:

1. Введение фиктивных переменных, не подчиняющихся постулатам Кирхгофа для узлов

2. В следствии этого необходимость составления системы уравнений связи

3. Необходимость определения знаков взаимных сопротивлений.