15

Многокритериальные задачи и методы их разрешения

1. Постановка и классификация задач многокритеральной оптимизации

2. Проблемы, связанные с решением многокриттеральных задач.

3. Методы решения.

Организуется система доставки готовой продукции на рынок потребителя. В нашем распоряжении участники процесса доставки груза (производители, перевозчики, потребители). Нам необходимо организовать их взаимодействие, распределить между ними цели, определить величину обслуживаемого материалопотока. При этом нужно учитывать, что каждый из участников, принимающий участие в системе доставки, является необходимой структурной составляющей системы.

К целевым критериям функционирования грузовладельца можно отнести максимум прибыли, минимум расходов на доставку, максимум производительности, минимум времени доставки. Целевые критерии перевозчика – максимум прибыли, максимум провозной способности, минимум расходов на операционную деятельность. Потребителя – минимум стоимости продукции, минимум транспортных издержек, максимум мощности и доступности видов транспорта.

Обозначим эти цели (критерии):

Требуется найти план, удовлетворяющий ограничениям и оптимизирующий все критерии.

Критерии , называемые частными или локальными, в совокупности образуют векторный критерий:

Математическая модель задачи векторной оптимизации:

(1)

(2)

(3)

Локальные целевые функции можно также записать так:

(4)

В зависимости от источника многокритериальности задачи могут быть разделены на несколько классов:

КЛАСС 1 – ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ ЦЕЛЕЙ

Принимаются во внимание несколько характеристик (качеств) объекта (процесса).

КЛАСС 2 – ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ ОБЪЕКТОВ

Система состоит из ряда объектов, качество функционирования каждого из которых описывается своим частным критерием, а эффективность системы определяется совокупностью частных критериев, которая и является векторным критерием.

КЛАСС 3 – ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ УСЛОВИЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ

Пусть система должна функционировать в различных условиях, для каждого из которых качество работы характеризуется частным критерием. Эффективность определяется совокупностью критериев для всех условий.

КЛАСС 4 – ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ ЭТАПОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ

В задачах данного типа рассматривается функционирование системы на протяжении ряда временных этапов, причем качество функционирования системы на каждом этапе характеризуется своим частным критерием.

Проблемы, связанные с решением многокритериальных задач

Такая множественность показателей эффективности, из которых одни желательно обратить в максимум, а другие – в минимум, характерна для любой сколь-нибудь сложной задачи исследования операций.

Итак, типичной для крупномасштабной задачи исследования операций является многокритериальность – наличие ряда количественных показателей Z1(X), Z2(X),…, Zk(X),…,Zs(X), одни из которых желательно обратить в максимум, другие – в минимум («чтобы и волки были сыты, и овцы целы»).

В задачах векторной оптимизации область допустимых решений распадается на две непересекающиеся области: область согласия Gс и Gк. В области согласия противоречия между критериями нет, и качество решения может быть улучшено одновременно по всем критериям, без ухудшения уровня любого из них.

В области компромисса есть противоречия между некоторыми критериями: улучшение качества по одним критериям ухудшает качество решения по другим.

Оптимальное решение принадлежит к области компромисса, так как в области согласия решение может и должно быть улучшено.

Выделение области компромисса является первым этапом решения задач векторной оптимизации. Область компромисса называют областью Парето-оптимальных планов. Оптимальным по Парето называется такой допустимый план X*, для которого не существует другого плана, по все критериям лучше данного. С математической точки зрения X* есть точка Парето, если

Где S – множество локальных критериев.

Геометрическая интерпритация Парето-оптимальных решений.

Пусть нам известны k допустимых решений X₁, X₂, …,X_k каждому и которых соответствует определенное значение показателей Z₁ и Z₂ и занумеруем точки соответсвенно номеру решения. Парето-оптимальными будут только решения 2,5,10,12, лежащие на правой границе области допустимых решений.

Второй этап – определение принципа оптимальности.

Принцип оптимальности определяет свойства оптимального решения и дает ответ на вопрос в каком смысле оптимальное решение лучше других. Выбор того или иного принципа оптимальности определяется особенностями задачи векторной оптимизации (наличием информации о важности критериев, о сравнимости количественных характеристик критериев и других).

Решение задач векторной оптимизации обычно сводятся к решению одной или последовательности однокритериальных задач.

Основные приемы сведения многокритериальных задач к задачам скалярной оптимизации: