Индексы Миллера.

Любая точка внутри кристалла может быть определена через постоянные решетки (длины связи): а, b и с, соответствующие расстоянию устойчивого равновесия r₀. Координаты точки описываются:

x = a u , y = b v , z = c w ,

где u , v , w называются индексами узлов и показывают число постоянных по осям координат. Отрицательные индексы имеют черту сверху. Обозначение точки с помощью индексов узлов: [[ u, v, w ]] .

[[ 1/2, 1/2, 1/2 ]] - положение центра элементарной ячейки.

[[ 1/2, 1/2, 0 ]] - положение центра грани в плоскости X O Y.

Кристаллы характеризуют симметрией, однородностью и анизотропией. Полной симметрией обладает только кубическая решетка. Отсутствие полной симметрии предопределяет анизотропию. При анизотропии все свойства вещества одинаковы в параллельных и симметричных направлениях и различны в разных направлениях. Например, магнитная проницаемость железа максимальна в направлениях, параллельных ребрам. Анизотропными могут быть и другие свойства : проводимость, модуль упругости и т.д.. Т.о. есть необходимость отмечать направления в кристаллической решетке, которых касаются рассматриваемые свойства.

Индекс направления определяется параллельным заданному направлению вектором, выходящим из начала координат и устремляющимся к узлу с индексом

[u, v, w ]. Скобки в данном случае – одинарные.

z z

[ 1, 1, 1 ] w ( 1, 1, 1 )

y v y

u

[ 1, 1, 0 ]

x [ 1, 0, 0 ] - ось «х» x

Рис. Обозначения направления и плоскости.

Плоскость может быть задана направлением нормали [ u, v, w ] или отрезками, отсекаемыми на координатных осях. Уравнение плоскости:

x/u + y/v + z/w = 1,

где u, v, w – координаты точек пересечения плоскости с осями координат.

hx + ky + lz = 1, h = 1/u , k = 1/v, l = 1/w,

т.е. h, k, l - обратные величины отсекаемых отрезков.

( h, k, l ) - индексы плоскости.

Индексы узлов, направления и плоскости называются индексами Миллера.

Простые плоскости называют сингулярными. В кубической решетке – это грань (100) и диагонали (110) и (111). Способность кристалла раскалываться по сингулярным плоскостям называется спайностью. Si обладает спайностью по грани (111), а Ga As - по (110), что важно при скрайбировании подложек. Форма углубления отчасти зависит от структуры материала. Чем меньше атомов на сингулярной плоскости, тем быстрее она травится

Рис. Варианты кристаллической структуры кремния (silicon) от менее плотной объемоцентрированной кубической – выделена плоскость (100) – до наиболее плотной объемо- и гранецентрированной кубической – выделена плоскость (111).

Рис. Профили травления кремниевой подложки в зависимости от кристаллографического ориентирования образца и направленности потока травителя.

Для исследования кристаллической решетки используют рентгеновский анализ.

Реально структура кристаллического тела часто состоит из нескольких разновидностей атомов с отличающимися параметрами элементарной ячейки. Такую сложную решетку представляют состоящей из вставленных друг в друга элементарных решеток Бравэ. Смещение решеток описывается дополнительным вектором А - базисным, где О - О* - базис. Сложную решетку называют решеткой с базисом.

A O*

О

Рис. Решетка с базисом.