Проведем группирование на интервале от 21.4500 до 21.4720. Для этого установим шаг интервала:
м
Установим шаг и границы интервалов, вычисляем частоты, частоты и величину накопленной частости. Результаты вычислений представлены в табл.3.
Таблица 3
-
Номера интервалов
Границы интервалов
αi βi
Частоты
Ni
Частости
pi
Накопленная частость Fn(x)
1
2
3
4
5
1
21.4500 21.4520
1
0.008
0.008
2
21.4520 21.4540
13
0.106
0.114
3
21.4540 21.4560
4
0.033
0.146
4
21.4560 21.4580
19
0.154
0.301
5
21.4580 21.4600
7
0.057
0.358
6
21.4600 21.4620
11
0.089
0.447
7
21.4620 21.4640
26
0.211
0.659
8
21.4640 21.4660
17
0.138
0.797
9
21.4660 21.4680
15
0.122
0.919
10
21.4680 21.4700
7
0.057
0.976
11
21.4700 21.4720
3
0.024
1.000
1.000
По результатам табл.3. Построим графики: полигон, гистограмму и график накопленной частости или функции эмпирического распределения.(рис.7,рис.8,рис.9)
Рис 7. Полигон частот
Рис 8. Гистограмма частот
Рис 9. График накопленной частости
При большом объеме выборки для определения эмпирических параметров распределения предварительно вычислим относительные начальные моменты. Вычисление относительных начальных моментов выполнено в табл.4.
Таблица 4
-
Номер интервала
Середина интервала xi
Относительная середина интервала yi
Частота
Ni
niyi
niyi
niyi
niyi
1
2
3
4
5
6
7
8
1
21.4510
-6
1
-6
36
-216
1296
2
21.4530
-4
13
-52
208
-832
3328
3
21.4550
-3
4
-12
36
-108
324
4
21.4570
-2
19
-38
76
-152
304
5
21.4590
-1
7
-7
7
-7
7
6
21.4610
0
11
0
0
0
0
7
21.4630
1
26
26
26
26
26
8
21.4650
2
17
34
68
136
272
9
21.4670
3
15
45
135
405
1215
10
21.4690
4
7
28
112
448
1792
11
21.4710
5
3
15
75
375
1875
Суммы
123
33
779
75
10439
Относительные начальные моменты
0.27
6.33
0.61
84.87
Вычислим вероятнейшее значение угла:
Xср2=Δx*ν1+c=0.0020*0.27+21.4600=21.4635 м
Для вычисления эмпирических значений дисперсий, асимметрии и эксцесса воспользуемся центральными моментами, которые находятся через начальные по формулам:
0.0004*(6.33-0.0729)=0.000025
м
0,000008*(0.619-3*6.33*0.27+2*0,019683)=-0,000000036
м
0,00000016*(84.87+4*0.61*0.27+6*6.33*0.27-
-3*0,00531441)=0.0000000014 м
Имеем:
0,000025
м
Откуда среднее квадратическое отклонение составит:
м
Произведем
интервальную оценку математического
ожидания MX=a.
Учитывая большой объем выборки, можно
принять
Параметр t
по функции Ф(t)=0.94
согласно таблице равен 1,88. Тогда
доверительный интервал определиться
как:
21.4635-1.88
<
a
< 21.4635+1.88
21.4635-0.0008476 < a < 21.4635+0.008476
21.4626 < a < 21.4643
Для
интервальной оценки дисперсии
воспользуемся
зависимостью:
Т.к.
число степеней свободы больше 30, то
соответствующее значение
определяется
из выражения:
В
нашем случае значение
получится
равным:
=93,9609
м,
а
величина
соответственно:
=152,5735
м
Затем определяем доверительный интервал для дисперсии:
0.000020 < < 0.000033
Соответственно для стандарта или среднего квадратического отклонения интервал составит:
0.0045 <
<
0.0057
В
дальнейшем необходимо проверить гипотезы
о параметрах распределения. В этом
случае произвольно берутся эмпирические
значения параметров распределения:
среднее арифметическое и эмпирическая
дисперсия Xср2=21,4635
и
=0,000025.
Проверить нулевую гипотезу о равенстве
центров распределения.
При
большом объеме выборки можно считать,
что
.
Разность средних значений составит
.
Ее сравнивают с
величиной
,
где параметр t
находится из приложения, а
вычисляется по формуле:
м
Параметр
t
при доверительной вероятности P=0.94
равен 1,88. Тогда величина
=1,88*0,0012=0,0022,
следовательно, не выполняется условие
>
=0.0022
и нулевая гипотеза отвергается.
Выдвигается
гипотеза о равенстве дисперсий
.
Используем значение F-распределения
согласно формуле:
F=
=7.60
м
Полученное
значение F
сравниваем с табличным, взятым по
степеням свободы к
=122
и к
=164
при доверительной вероятности P=0.94
и уровню значимости q=0.06
(Fq=1.54).
F=7.60 > Fq=1.54
Следовательно, гипотеза о равенстве дисперсий отвергается.
Необходимо проверить гипотезу о близости нашего ряда распределения нормальному закону. Если такое соответствие удастся установить, то этим выявиться случайный характер результатов измерения.
Первоначально выполним приближенную проверку гипотезы с помощью асимметрии А и эксцесса Е. Полученные величины сравниваем со значениями средних квадратических отклонений этих величин, вычисленных по формулам:
м
м
Величины:
м
м
В нашем случае выполняются следующие условия:
;
.
Вывод: гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному нельзя считать противоречащей результатам наблюдений.
При большом числе измерений и группировании данных пользуются для проверки гипотезы о нормальном законе распределения критериями согласия Колмогорова и . Для нашего примера используем оба этих метода.
В первом случае необходимо установить теоретическую функцию F(x) и ее расхождение с эмпирической Fn(x). Вычисления выполнены в таблице 5.
Таблица 5
Границы интервалов αi βi |
Fn(x) |
t |
Ф(t) |
F(x)=0.5+Ф(t) |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
21.4500 21.4520 |
0.008 |
-2.31 |
-0.4896 |
0.0105 |
0.0023 |
21.4520 21.4540 |
0.114 |
-1.91 |
-0.4720 |
0.0281 |
0.0858 |
21.4540 21.4560 |
0.146 |
-1.51 |
-0.4345 |
0.0655 |
0.0808 |
21.4560 21.4580 |
0.301 |
-1.11 |
-0.3665 |
0.1335 |
0.1673 |
21.4580 21.4600 |
0.358 |
-0.71 |
-0.2612 |
0.2389 |
0.1189 |
21.4600 21.4620 |
0.447 |
-0.31 |
-0.1217 |
0.3783 |
0.0689 |
21.4620 21.4640 |
0.659 |
0.09 |
0.0359 |
0.5359 |
0.1227 |
21.4640 21.4660 |
0.797 |
0.49 |
0.1880 |
0.6880 |
0.1088 |
21.4660 21.4680 |
0.919 |
0.89 |
0.3133 |
0.8133 |
0.1054 |
21.4680 21.4700 |
0.976 |
1.29 |
0.4015 |
0.9015 |
0.0741 |
21.4700 21.4720 |
1.000 |
1.69 |
0.4545 |
0.9545 |
0.0455 |
