25. К ритерий устойчивости Михайлова

Нехай дано характеристичне рівняння замкненої системи: (5.10)

D(jw) = X(w) + jY(w)

Для того, щоб система була стійкою, тобто не мала коренів в правій півплощині, необхідно і достатньо, щоб повний прирість фази φ(w) при зміні частоти від 0 до нескінченності було n*π/2, де n – порядок виразу (5.10)

Формулювання №2:

Для того, щоб система була стійкою необхідно, щоб годограф Михайлова послідовно проходив n квадрантів і в n-му йшов у нескінченність.

Годографи Михайлова для стійких систем

1 - система 5-го порядку, 2 - система 3-го порядку

Формулювання №3

Для того, щоб система була стійкою необхідне чергування нулів уявної і дійсної частини від 0 до нескінченності: Y(w₁)->X(w₂)->Y(w₃), w₁<w₂<w₃

Алгоритм розв’язання задачі:

1. Визначаємо передаточну функцію замкнутої системи

2. Виписуємо характеристичний поліном (ХП)

3. Переходимо до комплексного ХП

4. Виділяємо дійсну та уявну частини

5. а) будуємо годограф Михайлова змінюючи частоту від 0 до нескінченності

б) прирівнюємо до 0 дійсну та уявну частини і перевіряємо чергування нулів

6. Робимо висновок

25. Критерий устойчивости Найквиста.

Він дозволяє судити про стійкість замкнутих систем використовуючи передаточну функцію розімкнутої системи

Формулювання 1: для того, щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб годограф Найквіста не охоплював точку (-1, j0).

На рис. 5.9 характеристики 1 відповідають стійким статичній та астатичній системам, 2- на границі стійкості, 3 - нестійким системам.

Модуль КПФ пропорційний коефіцієнту підсилення (розділ 2.7.2) тому, АФЧХ систем при збільшенні коефіцієнта підсилення системи, не змінюючи своєї форми, пропорційно розширюються, а при зменшенні коефіцієнта звужуються, тобто при збільшенні коефіцієнта підсилення систем, АФЧХ може змінитися так, що система вийде зі стійкого стану - охопить точку (-1, j0), що видно з рис. 5.9

Другий випадок:

Система нестійка в розімкнутому стані та має коренів у правій напівплощині буде стійкою в замкнутому стані, якщо АФЧХ розімкнутої системи охоплює критичну точку (-1, j0) l/2 разів у додатному напрямку при зміні частоти від нуля до нескінченності.

На рис. 5.10 як приклад показані дві АФЧХ нестійких у розімкнутому стані систем внаслідок наявності правих коренів, але стійких у замкнутому стані.

Алгоритм розв’язання задачі:

1. Дано передаточну функцію розімкненої системи, переходимо до комплексної передаточної функції розімкненої системи

2. Виділяємо уявну і дійсну частини

3. а) змінюючи частоту від 0 до нескінченності будуємо годограф Найквіста, дивлячись на годограф (охоплюється точка чи ні) робимо висновок про стійкість

б) прирівнюючи уявну частину ; Підставляємо у вираз для і знаходимо точку перетину АФЧХ із дійсною віссю (координата А);

4. Робимо висновок про стійкість, якщо - система нестійка, А>= -1 – система стійка.

25. Запасы устойчивости по модулю и фазе.

Для того, щоб аналізувати наскільки стійка досліджувана системи в сенсі чи заміна параметрів не виведе її зі стану стійкості, аналізують запаси стійкості за модулем і фазою..

1. Запас стійкості за модулем:

Система перебуває на границі стійкості, якщо .

,

(5.14)

де ОВ - відстань між початком координат і точкою перетину АФЧХ із дійсною віссю (рис. 5.14).

Запас стійкості за модулем показує в скільки разів потрібно збільшити модуль розімкнутої системи (коефіцієнт підсилення системи), щоб замкнута система прийшла до границі стійкості, тобто пройшла через точку .

Якщо – система на границі стійкості;

– система стійка;

– система нестійка.

Зазвичай запас стійкості за модулем виражається в децибелах. При дБ система є «добре» стійкою і незначна зміна параметрів не може привести до втрати стійкості.

Запас стійкості за фазою.

Для стабільної стійкості не досить знання одного запасу стійкості за модулем. Можливі випадки, коли АФЧХ перетинає дійсну вісь далеко від критичної точки, тобто система має великий запас стійкості за модулем. Однак є ділянка, де АФЧХ дуже близько проходить біля точки (рис. 5.16,а).

Для більш повної характеристики стійкості системи вводиться поняття запасу стійкості за фазою.

Для визначення запасу стійкості за фазою системи, що має АФЧХ, представлену на рис. 5.16,б , проведемо коло одиничного радіуса. Точка перетинання АФЧХ із колом одиничного радіуса називається частотою зрізу . Кут між вектором комплексної передавальної функції, модуль якої дорівнює одиниці, і негативною дійсною віссю називається запасом стійкості за фазою.

Зазвичай для добре стійкої системи досить мати запас . При такому значенні запасу, можливі зміни параметрів системи не приводять до втрати її стійкості.