9.Основні властивості визначників
1 . Для довільної квадратної матриці
Доведемо цю властивість за методом індукції. Для матриць порядку 1 це очевидно. Нехай ця властивість справедлива для матриць порядку Доведемо її для матриць порядку
При транспонуванні матриці її ий рядок стає им стовпцем. Скористаємося формулою (1.2) для го стовпця
Але елементи матриці - це елементи матриці визначники матриці порядку визначники транспонованої матриці порядку , які за припущенням є рівні. Тому
2. Якщо один з рядків (стовпчиків) матриці помножити на число , то визначник матриці також помножиться на .
Доведення випливає із формули (1.1) або (1.2), виходячи із властивості, що постійний множник можна виносити за знак суми.
3. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпчики), то визначник змінить знак на протилежний.
Доведемо спочатку цю властивість для двох сусідніх рядків (стовпчиків). Якщо ий рядок стане на місце го, то, розклавши визначник за елементами го рядка (формула 1.1), одержимо
Якщо тепер поміняти ий з на им рядком , то, очевидно, потрібно здійснити сусідніх перестановок рядків раз. Це значить, що знак визначника змінюватиметься непарну кількість разів, тобто змінить знак на протилежний.
4. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.
Дійсно, помінявши два однакових рядки (стовпчики), визначник, очевидно, не зміниться. Але за властивістю 30 він змінить
знак на протилежний, тобто
5. Визначник не змінюється, якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший рядок (стовпчик) цієї матриці.
Нехай до го рядка матриці додали ий її рядок, тобто і
але оскільки він містить два однакових рядки
6. Якщо - одинична матриця, то
Дана властивість випливає із розкладу визначника.
7. Якщо один з рядків (стовпчиків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
Розклавши визначник за елементами цього рядка (стовпчика), одержимо всі доданки у формулі (1.1) нулі.
8. Визначник матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів, що знаходяться на головній діагоналі.
9. Визначник не змінюється , якщо до -го рядка матриці додається її -й рядок, , помножений на число .
10. Якщо який-небудь рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією інших рядків (стовпчиків), то визначник дорівнює нулю.
11. Якщо кожний елемент якого-небудь рядка матриці є сумою двох чисел, тобто
то де - матриця вигляду , в якої -й рядок має вигляд (1.3); - матриця (1), в якої -м рядком є перші доданки елементів рядка (1.3); -матриця, в якої -м рядком є другі доданки рядка (1.3).
12. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпчика)
квадратної матриці на алгебраїчні доповнення до цих елементів дорівнює визначнику цієї матриці, а сума добутків елементів на алгебраїчні доповнення до інших елементів дорівнює нулю.
.
10. Визначники 2 і 3 порядків
називають визначником 3-го порядку.
Числа а11, а12,..., а33, що складають визначник, називаються елементами визначника.
Для позначення елементів визначника використовуються подвійні індекси: аij.
Перший індекс (i) визначає номер рядка, а 2-й (j) - номер стовпчика визначника.
Права частина рівності (1.2) обчислюється за такими схемами.
тобто елементи добутків (1.2), взяті з відповідно вказаними знаками, або з'єднані відрізками (головна і друга діагональ), або утворюють трикутники.
Для обчислення визначника третього порядку можна використовувати і так зване „правило Саррюса". Для обчислення визначника за цим правилом припишемо справа до визначника спочатку перший, а потім другий стовпчики:
Тоді, як показано на схемі, доданки суми (1.2) що не змінюють свій знак, знаходяться шляхом добутку елементів, що стоять на головній діагоналі та паралельно їй; а для знаходження доданків, що змінюють свій знак, треба перемножити елементи, що стоять на другій діагоналі та паралельно їй.