21.Означення похідної.

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається як x−x₀, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x₀). Тоді, якщо існує границя , то вона називається похідною функції f в точці x₀.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

22. зміст похідної

Пояснення визначення

Нехай ƒ – функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції ƒ для дійсного числа a була єдина лінія через точку (a, ƒ(a)), що не перетинається з графіком функції ƒ трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції y по змінній x в точці a, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції ƒ в точці a. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку (a, ƒ(a)) та іншу близьку точку на графіку, наприклад (a + h, ƒ(a + h)). Такі лінії називаються січними. Значення h близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення h, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил m січної лінії дорівнює різниці значень y для цих точок поділити на різницю значень x, тобто

Цей вираз — це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна — це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Строго кажучи, похідна функції ƒ в точці a це границя:

відношення приростів коли h наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді ƒ – диференційована в точці a. Тут ƒ′ (a) одне з кількох можливих позначень похідної (див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис.1), де дотична лінія ƒ в точці a дає найкраще лінійне наближення

для ƒ біля точки a (наприклад, для малих h). Якщо підставити 0 замість h у відношеня приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо Q(h), відношення приростів як функцію від h:

Q(h) – це нахил січної лінії між точками (a, ƒ(a)) and (a + h, ƒ(a + h)). Якщо ƒ – неперервна функція, тобто якщо графік функції немає розривів, тоді Q також непервна функція починаючи з точки h = 0. Якщо існує границя , тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Q(0), це означає що графік функції Q неперервний, тоді функція ƒ диференційована в точці a, і її похідна в точці a дорівнює Q(0).

На практиці, існування непервного продовження відношення приростів Q(h) в точці h = 0 показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити h у знаменнику. Цей прроцес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.

23. Диференціал функції

В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від y пов’язаний з dx формулою:

де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δx прямує до нуля.

Є кілька підходів для більш математично строгого визначення:

1. Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.^[1]

2. Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.^[2]

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.