3.2. Анализ чувствительности оптимального решения

к вариациям правых частей ограничений

Вариации правых частей ограничений приводят к изменению облас­ти допустимых решений ЗЛП, в действии параллельного смещения гиперплоскостей, ограничивающих выпуклое многогранное множество.

Р

2

ис.3,3.Геометрическая интерпретация влиянии вариаций правых частей ограничения на решение ЗЛП.

Н

1

3

Оптимальное

решение измененной задачи

grad Z

Д

2^|

2

Оптимальное решение исходной задачи

X[2]

6

3

2

1

а рис. 3.3. показано, как изменяется допустимая область ЗЛП и ее оптимальное решение при вариации правой части второго ограничения, приводящей к расширению допустимого множества. Из неформального анализа видно, что по своему влиянию на оптимальное реше­ние ограничения могут быть разделены на активные (т.е. определяющее оптимальное решение и превращающие в нем в равенства) (2 и 1 на рис.3.3) и неактивные (3 на рис.3.3.). Любое изменение правой части активного ограничения приводит к изменению решения задачи. Вариация неактивного ограничения может привести к из­менению решения задачи, лишь в том случае, если она сокращает множест­во допустимых решений.

Рис.3.4.Графический способ анализа чувствительнос­ти оптимального решения

П

X[1]

5

3

4

1

редельные вариации правых частей граничении будем находить из условия оптимальности прежнего базиса (или, что одно и то же – неизменности состава активных ограничений). Пример графического способа анализа приведен на рис. 3.4.

Ограничение 2 - активное. Крайнюю точку и соответственно, базисное решение определяют ограничения 2 и 3. Предельная положительная вариация находятся из условия параллельного перемещения прямой, определяющей 2-е ограничение до точки 6. При большей вариации новый оптимальный базис будет определяться ограничениями 1 и 3, т.е. изменится состав активных ограничений. Аналогично, предельная отрицательная вариация определяется параллельным перемеще­нием этой же прямой до крайней точки 5, после чего базисное решение будет определяться только ограничением 2 и , т.е. опять изменится состав активных ограничений. Ограничение 1 - пассивное. Предельная вариация , т.к она не может привести к изменению состава систем ограничений.

Предельная отрицательная вариация определяется параллельным смещением ограничения 1 до крайний точки 4, после чего оптимальный базис будет определяться ограничениями 1 и 3.

Формальный способ анализа связан с изменением базисных компонент решения. Для его проведения наиболее удобно использовать заклю­чительную симплекс-таблицу . Ее структура, используемая для ручного счета, показана на рис. 3.5

Вариация правой части любого, например,

k-о ограничения, приводит к изменению

в ектора

Рис.3.5 Структура симплекс-таблицы .

Действительно, если то . Каждая i-я компонента вектора определяется следующим соотношением:

(3.10)

где - номер ограничения, правая часть которого варьируется,

- i -я строка матрицы ,

- элемент [i,k] матрицы .

Из формулы (3.10) видно, что изменяться при вариации величины будут лишь те элементы , которым в k-м столбце матрицы соответствует ненулевой элементов . К неоптимальности прежнего базиса может привести лишь уменьшение . При положительной вариации ( ) это будет в случае <0, а при отрицательной ( ) наоборот - при >0.

Так как в общем случае при вариация b[k] могут изменяться несколько базисных элементов прежнего оптимального решения, то формулы для определения предельных вариаций и будут иметь следующий вид:

(3.11)

(3.12)

г де (3.13)

Соотношение (3.13) получается из (3.10) приравниванием последнего к нулю.

Классифицировать ограничения на активные и неактивные мож­но из анализа последней строки расширенной обратной базисной матрицы .

Известно, что ,

где - оптимальные значения двойственных переменных. Известно также, что

Следовательно, если , то соответствующее i-ое ограничение является активным (т.е. любое изменение b[i] приводит к изменению оптимального значения целевой функции ЗЛП), в противном случае оно является неактивным.

После проведения вариации величины b[k] меньше предельной для получения нового оптимального решения достаточно скорректировать вектор соответствии с формулой (3.10). Если же осуществляется вариация больше предельной, то после пересчета вектора среди

новых значений первых m его компонент появятся отрицательные, т.е. прежнее базисное решение станет недопустимым. При этом прежний базис станет сопряженным, т.е. таким, которому соответствуют зна­чения двойственных переменных, определяющие допустимое базисное решение двойственности ЗЛП.

Для поиска нового решения скорректированной ЗЛП, начиная с сопряженного базиса, необходимо применить алгоритм двойственного симплекс-метода. В результате его работы либо будет найдено новое оптимальное решение, либо установлено, что сделанная вариация привела к пустоте допустимого множества ЗЛП.