15.2 Основна концепція мсе
Основна ідея МСЕ полягає в тому, що довільну шукану неперервну функцію φ(температура, тиск, переміщення, потенціал, концентрацію і т.д.) можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусково-неперервних функцій, визначених на скінченному числі підобластей.
Кусково-неперервні функції визначаються за допомогою значень неперервної величини в скінченній кількості точок розглядуваної області. В загальному випадку неперервна величина наперед невідома і потрібно визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках області.
При побудові дискретної моделі поступимо наступним чином:
1. Дискретизація області. В розглядуваній області Ω фіксуємо скінчене число точок. Ці точки називаються вузловими або просто вузлами.
2. Значення шуканої функції φ в кожній вузловій точці вважається змінною, яка може бути визначена.
3. Розбиття тіла або області на скінченні елементи. Область визначення неперервної величини φ розбивається на скінченне число підобластей, які називаються елементарними. Ці елементи мають загальні вузлові точки, не перекриваються і в сукупності апроксимують форму області.
4. Вибір схеми інтерполяції функції в середині елемента. Неперервна величина φ апроксимується на кожному елементі поліномом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається свій поліном, але поліном вибирається таким чином, щоб зберігалась неперервність величини вздовж меж елемента.
5. Виведення рівнянь для схеми в цілому.
6. Ров’язування системи рівнянь, що отрималась.
7. Обчислення значень інших величин.
15.3 Переваги і недоліки мсе
В даний час область застосування МСЕ дуже широка і охоплює всі фізичні задачі, що можуть бути описані диференціальними рівняннями.
Найбільш важливі переваги МСЕ наступні:
Застосування методу до розв’язання крайових задач, що складаються з підобластей з різними фізичними властивостями.
Застосування методу до підобластей з криволінійними межами.
Можливість згущення або розрідження сітки. Оскільки розміри елемента можуть бути змінними, це дозволяє укрупнювати подрібнбвати сітку розбиття області на елементи, якщо в цьому є необхідність.
Вхідні дані задачі можуть бути негладкими, тобто крайові умови задачі можуть бути розривними.
При складанні комп’ютерної програми для певного класу задач за допомогою МСЕ можна вирішувати будь-яку задачу з цього класу.
Головний же недолік МСЕ полягає в складності програми і застосуванні потужної обчислювальної техніки. Зокрема, окремої уваги заслуговує задача скінченноелементного покриття заданої області. Так, на даний час на кафедрі прикладної математики в НУВГП побудовані різні генератори скінченноелементного покриття областей з криволінійними межеми, а також складних областей.
15.4 Математичні основи методу мсе