14.3 Сумарна апроксимація

Принцип сумарної апроксимації полягає в наступному: кожне з рівнянь (0)-(1) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (1) з першого пункту (РС звагами для двохвимірного рівняння ) з точністю 0(+h²). При переході з цілого шару k на шар k+½ кожна просторова різниця обчислюється несеметрично по часу і похибка апроксимації кожної з РС рівна 0(τ+h²). Але похибка на другій половині шару по часу компенсує першу і в сумі при переході з цілого шару k на k+1, тоді похибка має такий порядок апроксимації ). Математично це має такий вигляд :

Схема стійка при будь-яких кроках і h. Схему змінніх напрямків можна досліджувати двояко

1. виключивши з різницевих рівнянь;

2. безпосередньо шляхом сумарної апроксимації

Нехай U(x t)-точний розв’язок . Представимо розв’язок різницевої задачі у вигляді:

(26)

де -це нев’язка, тобто різниця між точним і наближеним розв’язком.

(27)

Підставляючи вказані вирази (26), (27) в (10), (11) отримаєм рівняння, які задовольняють похибки методу:

Ці сіткові функції називаються похибками апроксимації різницевої задачі (10)-(11) на розв’язок вихідної задачі (1)-(3).

Розкладаючи функції, які входять в дані вирази по формулі Тейлора в околі точки отримаємо:

Із (28) видно, що кожне з різницевих рівнянь (10)-(11) апроксимує вихідне рівняння з першим порядком по і другим порядком по h, де

,

сумарна апроксимація (28)

Разом з тим, сума похибок апроксимації має другий порядок по і другий порядком по h. Знаходимо сумарну похибку:

(30)

(31) (32)

Схема (10)-(11) володіє сумарною апроксимацією другого порядкупо і другого порядку по h.

14.4 Локально-одновимірна схема Самарського о.А.

ЛОС Самарського має вигляд:

(33)

(34)

Таким чином спростили РС- це схема є ЛОС. Вона володіє розщепленням по координатах. В даній схемі кожне з рівнянь (33)-(34) окремо не апроксимує вихідне рівняння (1), однак, в цілому, схема володіє сумарною апроксимацією саме з порядком 0(τ+h²).

Дійсно, покажемо, що має місце така сумарна апроксимація.

ЛОС Самарського має порядок апроксимації

Дискретизація граничних умов для проводиться аналогічно як і в методі Пісьмена-Речфорда. Тобто потрібно виразити з ЛОС Самарського через і та довизначити дану РС для із знайденого виразу для (у випадку граничних умов першого роду).

Іноді ЛОС називають схемою розщеплення по координатах. Зауважемо, що в подібних схемах відсутня апроксимація на кожному проміжному етапі, хоча в цілому, схема має сумарну апроксимацію. Тобто, на проміжних етапах використовують одновимірні різницеві схеми, які окремо не апроксимують вихідне рівняння. Тут має місце лише сумарна апроксимація з цілими номерами k.

Похибка апроксимації проміжних номерів при сумуванні знищується. Такі схеми з сумарною апроксимацією називаються адитивними. Схема розщеплення по координатах являє собою неявну двократну схему для одновимірного рівняння теплопровідності. На першому етапі знаходяться допоміжні значення , а на другому шукане значення сіткової функції.

Математичні висновки для ЛОС Самарського аналогічні, як і для поздовжньо-поперечної різницевої схеми лише в сторону спрощення, а саме у рівнянні (2) замість потрібно взяти , аналогічно і прогоночні коефіцієнти . У (5) замість підставимо .

При сумарній апроксимації точність 0(h²+τ).

Системи лінійних рівнянь, що отримуються, мають трьохдіагональний вигляд і розв’язуються за допомогою методу прогонки.

Схема безумовно стійка і вона збігається з швидкістю

Побудуємо ЛОС для задачі (1)-(3). Запишемо ЛОС Самарського (33),(34) в координатному вигляді:

(38)

(39)

Запишемо (38) в про гоночному вигляді:

(40)

де ,

Для поздовжньої прогонки прогоночні коефіцієнти мають вигляд:

(43)

Для поперечної прогонки прогонки:

Тоді розв’язок в результаті зворотного ходу прогонки

(44)

Бувають схеми розщеплення по фізичних процесах базується на результаті вихідної задачі по фізичних процесах. На кожному шарі по часу вихідна складна задача, що описує деякий фізичний процес при наявності декількох впливових на нього факторів. Розщіплюється на більш прості задачі.

Із побудови ЛОС Самарського видно, що вона легко узагальнюється на випадок довільного числа змінних, при цьому кожна нова змінна вимагає введення одного проміжного етапу на кожному шарі по часу.