9.2 Монотонна рс для звичайного диф. Рівняння другого порядку, що містить першу похідну

Розглянемо крайову задачу для звичайного диференціального рівняння другого порядку, що містять першу похідну:

(9.4)

Отримаємо числовий розв’язок задачі (9.4).

Запишемо різницеву схему для (9.4):

(9.5)

Тут h– крок по х.

Різницева схема другого порядку апроксимації буде монотонною при заміні різниці співвідношенням, буде монотонною лише при досить малих кроках h. Запишемо дану різницеву схему в канонічному вигляді:

(9.6)

В теорії різницевих схем доводиться той факт, що різницева схема, записана а канонічному вигляді, буде монотонною при умові додатності коефіцієнтів даного різницевого оператора, записаного в канонічному вигляді. Щоб різницева схема (9.6) була монотонною, потрібно вимагати додатності її коефіцієнтів. Умови додатності коефіцієнтів зводяться до виконання нерівності:

(9.7)

(9.8)

Побудована різницева схема буде монотонною, якщо виконується умова (9.8). Дана схема буде монотонною для всіх h, якщо

Побудуємо різницеву схему монотонну при будь-яких h. В зв‘язку з цим побудуємо різницеві схеми для рівняння (9.4) для деяких часткових випадків:

1)

Апроксимуємо першу похідну правосторонньою різницею, тоді отримаємо різницеву схему:

(9.9)

Дана різницева схема має перший порядок апроксимації . Запишемо її в канонічному вигляді:

(9.10)

Умови монотонності схеми виконуються, оскільки Отже дана різницева схема монотонна при будь-яких кроках h.

2)

Апроксимуємо першу похідну лівосторонньою різницею. Отримаємо різницеву схему:

(9.11)

Запишемо її в канонічному вигляді:

(9.12)

Отже, дана різницева схема також монотонна при будь-яких кроках h і має порядок апроксимації .

3) В загальному випадку, представимо :

(9.13)

де

,

(9.14)

Представимо вихідне диф. Рівняння наступним чином:

Тоді побудуємо різницеву схему з так званими направленими різницями. Підставимо представлення для r(x) у формулу (9.1), будемо мати:

(9.15)

Покажемо, що дана різницева схема монотонна при будь-яких кроках h. Для цього запишемо (9.15) в канонічному виді:

(9.16)

Всі коефіцієнти є додатніми, отже, дана різницева схема монотонна при будь-яких кроках h. Однак, як і попередні, дана різницева схема має перший порядок апроксимації .

Для даної задачі Самарський побудував монотонну різницеву схему, яка має другий порядок апроксимації.

Для того, щоб побудувати монотонну різницеву схему, що має порядок апроксимації , потрібно більш детально вивчити похибку цієї різницевої схеми:

(9.17)

Користуючись розкладом похідних в (9.17) по формулі Тейлора будемо мати:

Підставивши ці розклади в (9.17), для похибки апроксимації отримаємо такий вигляд:

(9.18)

Враховуючи (9.1) і (9.4), отримаємо

Звідси видно, що дещо змінена різницева схема по відношенню до (9.15), а саме:

(9.19)

Неважко бачити, що дана різницева схема буде монотонною і має другий порядок апроксимації .

Порядок апроксимації не зміниться, якщо коефіцієнт замінити з точністю 0(h²) додатнім коефіцієнтом

(9.21)

Таким чином отримаємо різницеву схему:

, (9.22)

яка має другий порядок апроксимації. Щоб показати монотонність, запишемо (22) канонічному вигляді:

(9.23)

Якщо x>0, то звідси слідує, що схема є монотонною при   і h, і має порядок апроксимації 0(h²). Оскільки дана схема монотонна, вона стійка.