1.2. Некоторые определения и исходные предпосылки. Представительный элемент объема [4–14]

1.2.1. Определения и исходные предпосылки. Композиционными материалами (композитами) называются материалы, состоящие из двух или нескольких компонентов (фаз) с отчетливо выраженными поверхностями сопряжения и различными физико-механическими свойствами. Ради удобства одну из фаз будем называть матрицей и обозначать m (matrix); а другие фазы – включениями и обозначать f₁, f₂, ¼ , (filament). Последний термин будет относиться к любой фазе, заключенной в мат­рице; таким образом, этот термин охватывает и пустоты, каналы.

Композиционные материалы обычно классифицируются по фор­ме включений. Композит, включения которого представляют собой длинные цилиндры, называется волокнистым композитом. Если же эти цилиндры (волокна) параллельны между собой, то волокнистый композит называется однонаправленным. При изучении механического поведения волокнистых упругих композитов обычно делаются следующие предположения:

1. Матрица и включения – линейно-упругие, однородные, изотропные: связь между напряжениями и деформациями в компонентах композита описывается законом Гука;

2. Отдельные компоненты композита идеально связаны между собой – на поверхностях сопряжения компонентов реализуются условия непрерывности векторов перемещения и напряжений:

, (1.2.1)

где n – единичный вектор внешней нормали к поверхности компонента; индексом (i) помечены величины, относящиеся к одной фазе, а индексом (j) – к другой;

3. Волокнистый композит представляет собой линейно-упругий макроскопически однородный материал без начальных напряжений; в зависимости от укладки волокон материал принимается трансверсально-изотропным или ортотропным.

Если геометрические характеристики (форма, размеры, расположение) и физико-механические свойства компонентов периодически повторяются в пространстве – композит называется композитом с периодической структурой:

, (1.2.2)

где k_i – произвольные целые числа; h_i – постоянные векторы, определяющие период структуры.

Если в соотношениях (1.2.2) i принимает значения 1 и 2 ( ), то среда называется средой с двоякопериодической структурой. Точки P₁ и P₂, вектор-радиусы которых связаны соотношением

(1.2.3)

называются конгруэнтными. На плоскости 0X₁X₂ выделим область, не содержащую двух конгруэнтных точек, такую, что для любой внешней точки внутри области найдется ей конгруэнтная точка. В общем случае эта область является параллелограммом и называется параллелограммом периодов; употребляется также термин ячейка периодичности. Пара целых чисел (k₁, k₂) является идентификатором ячейки периодичности.

Взаимодействие выделенной ячейки периодичности с окружающей средой учитывается точно, если выполняются условия двоякой периодичности тензора напряжений s и квазипериодичности вектора перемещения u:

(1.2.4)

, (1.2.5)

где C₁ и C₂ – постоянные векторы. В дальнейшем, не ограничивая общности, считаем, что векторы h_i и C_i имеют вид:

(1.2.6)

1.2.2. Представительный элемент объема гетерогенной среды. За­дачи микромеханики и макромеханики, возникающие при изучении механического поведения композиционных материалов, различа­ются уровнем описания неоднородностей. В задачах микромехани­ки в качестве характерного масштаба длины l выступает харак­терный размер неоднородности: расстояние между включениями, диаметр включения и т.п. В задачах макромеханики характерным масштабом длины L является расстояние, на котором макроскопические напряжения изменяются значительно; обычно, это ха­рактерный размер конструкции. Ясно, что существует некоторый промежуточный масштаб длины l, в пределах которого являет­ся осмысленной операция гомогенизации: замена гетерогенной среды эквивалентной ей в некотором смысле гомогенной средой.

Введем в рассмотрение элемент объема гетерогенной сре­ды, имеющий характерный размер l и обладающий геометрическими и физико-механическими свойствами рассматриваемой сре­ды. Этот элемент объема называется представительным элементом объема.

Из практических соображений очень важно, чтобы предста­вительный элемент объема имел минимально допустимые размеры. Весьма благоприятна ситуация, когда гетерогенная среда имеет периодическую структуру – в этом случае

• можно точно учесть взаимодействие выделенного элемен­та объема с окружающим пространством, если выделить всего лишь одну ячейку периодичности;

• все средние по объему ячейки периодичности тензоры деформаций и напряжений равны соответствующим средним тензорам, вычисленным для гетерогенной среды в целом.

Итак, представительный элемент объема – это элемент объема, который обладает геометрическими и физико-механичес­кими свойствами рассматриваемой гетерогенной среды и в котором средние по объему тензоры деформаций и напряжений рав­ны соответствующим средним тензорам, вычисленным для гетерогенной среды в целом.

Несколько слов о терминологии. Термин микроскопический (микродеформации, микронапряжения) употребляется по отно­шению к областям меньше представительного элемента объема, т.е. имеющим характерный масштаб длины l. Термин макроскопический (макроскопические свойства, деформации и напряжения) относится к областям, большим представительного элемента объема; при этом предполагается, что макроскопические напряжения изменяются достаточно медленно от точки к точке, так что в представительном элементе объема их можно считать постоянными.

Определим процедуру осреднения по объему представительного элемента:

, (1.2.7)

где V – объем представительного элемента; – средний тензор микродеформаций (макроскопический тензор деформаций); – средний тензор микронапряжений (макроскопический тензор напряжений).

В i-м компоненте представительного элемента объема напряжения и деформации связаны обобщенным законом Гука. Осреднив по объему V⁽ⁱ⁾ соотношение (1.1.6), установим связь меж­ду средними тензорами микронапряжений и микродеформаций для i-го компонента:

(1.2.8)

Нас же будет интересовать связь между макроскопически­ми тензорами напряжений и деформаций для всего представите­льного элемента объема.