Система координат на прямой.
Пусть дана некоторая прямая. Установим на ней положительное направление, прямая станет осью. Затем выберем на этой прямой т. О это будет начало отсчета. Зададим масштабный отрезок (единичный Е) если на прямой выбрано направление, начальная т. О и единица масштаба, то говорят что на этой прямой введена декартова с.к.. Сама прямая наз. Корд. Осью, а т. О – нач. координат. Введение декартовой с.к позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел. Корд любой точки М наз. числом х, равное величине направления ОМ. Т.е. корд. Это число равное по абсолютной величине расстоянию т. М от начала корд и это число имеет знак + если совпад с осью и –если не совпадает. При помощи декартовой с.к например можно установить взаимно однозначное соот между множеством всех т. Прямой, т.е. к оси и множеством всех действительных чисел, а именно любой т прямой соотв опред действит число, а любому действ числу соотв опред т. на прямой.
Прямоугольная с к на плоскости
На плоскости задана декартова прямоугольная с.к, если задана пара взаимоперпердик осей и при этом условленна какая из этих осей явл первой, а какая второй, а также задан единичный или масштабный отрезок, т. О – пересечение осей нач корд. Первую ось наз осью абсцисс (ОХ) вторую – ордината (ОУ) это оси координат.
Пусть М произвольная т. плоскости. Из этой т. опустим перпендик на оси координат. Абсциссой т. М наз. Величину отрезка ОК оси ОХ, а ардинатой ОС оси ОУ. Пару Пару чисел х и у где х=ОК, у=ОС наз. Корд т М в выбранной с.к. Тот факт что т. М=О тогда и только тогда, когда т. М лежит на оси ОУ, а ордината =О когда т. М лежит на оси ОХ.
У начала корд т О и только у него обе корд =О т.о каждой т. М плоскости соотв пара действит чисел (х,у) корд этой точки и на оборот, каждой паре действит чисел соотв и при этом только 1 точка на плоскости для которой эти числа будут ее корд.
Каждая корд ось разбивает на 2 ч, а вместе оби оси разбив его плоскости на 4 четверти
Полярная с.К на плоскости
Возьмем на плоскости т. О и через нее ось ОР. Будем наз т. О полюсом, а полуось т.е лучь выходящий из т. О в положит направлении для оси ОР полярной осью. Задание полюса О полярной оси ОР и единичного (масш) отрезка ОЕ опред на плоскости полярную с.к. Возьмем т. М и соед ее с полюсом . Полярным рариусом РО любой т. М плоскости наз ее расстояние от полюса О, т.е длина отрезка ОМ- полярн радиус (q) Полярным углом g т. М наз угол наклона направл ОМ к полярной оси ОР, угол g опред с учетом знака и до слогаемого 2ПК, т.е обычно в качестве полярных углов в т. плоскости берут главные значения 0≤g≤2П(360). Числа q и g т.е поляр град и угол наз полярн корд. Для т. О полюса при q=0 угол g не имеет опред значения. Задание любой пары действ чисел q и g где q не отриц позволяет построить на плоскости 1 и только 1 т. М для которой эти числа явл ее полярной корд, если q=0 т. М совпад с полюсом если q>0, то построение т М сводится к построению ОМ, угол наклона которого в полярной оси= g, а длина =q
Связь между прямоугольной декартовой и полярными корд.
Рассмотрим на плоскости прямоуг декарт с.к (ХОУ) и полярную с.к у которой полюса совпадают с началом корд т. О а поляр ось совпад с осью абсцисс.
Возьмем на плоскости произвольную т. М, корд М(х;у) а в поляр с.к (q;g) т. L не совпад с нач корд.
Cosg=х/q sing=y/q следоват x=q*cosg y=q*sing
Мы получили формулы которые позволяют по известным поляр корд получить декартову с.к х и у
При любом полож т. М q2=x2+y2
q= корень х2+у2 cosg=x/корень х2+у2 sing=у/корень х2+у2 Получили формулы которые позволяют из известных декарт корд получить ее полярные корд.
Декартова прямоугольная ск в пространстве ДПСКВП
ДПСКВП считается заданной если даны Е, 3 взаимоперпендик оси пересекающиеся в 1 т. О наз ее нач корд., и указано какая явл осью ОХ, ОУ, ОZ – это корд оси. Пусть т М это произвольная т в пространстве. Опустим перпендик на корд оси K, L,N – это проекции т. м на оси корд. Эти точки явл точкой пересеч с осями корд плоск. Перпендик этим осям и проходит через т. М. Первой корд (абс) т М наз число х= ОК, второй (ординат) т. М наз число у=OL третьей (аппликатой) т.М наз Z=ON. Если т. М имеет корд (х;у;z) то пишут также М(х;у;z). По определению корд т. М (0;0;0) любая т. М лежащая на оси ОХ имеет ординату у и аппликату z равные 0 и соответственно ……
Имеем 3 коорд плоскости XOY, YOZ, ZOX. Для точек лежащих в плоскости ХОУ аппликата z=0 и соотв…….
Каждая из этих плоскостей делит на 8 аттантов. Введение в пространстве дек прям ск позволяет каждой т в пространстве поставить в соотв упорядоченную 3-ку действ чисел корд этой точки и наоборот каждой упорядоченной 3-ке действ чисел соотв в пространстве единственная точка для которой эти числа явл ее корд в выбранной ск. Для постороения т. М по известной ее корд XYZ достаточно на оси OX построить т К для которой ОК=х на оси орд найти т. L для которой OL= у и на оси аппликат найти т N для которой ON=z. И через т. K,L,N провести плоскости перпендик соотв осям OX,OY,OZ, т. М лежащая в пересеч этих плоскостей будут иметь корд (xyz)