Вычислительная математика лекции
.pdfСАНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
А. Н. Кирсяев, В. Е. Куприянов.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ.
САНКТПЕТЕРБУРГ 2011
Оглавление |
|
1.Введение. .................................................................................................... |
9 |
1.1.Источники погрешностей. ............................................................. |
9 |
1.2.Погрешность округления. .............................................................. |
9 |
1.3.Особенности машинной арифметики ......................................... |
10 |
1.4.Правила записи приближенных чисел........................................ |
12 |
1.5.Корректность и обусловленность задач и алгоритмов. ............ |
12 |
2.Конечные, разделенные разности и сеточные функции. ..................... |
14 |
2.1. Конечные разности и их свойства.................................................. |
14 |
2.2.Разделенные разности и их свойства. ............................................. |
16 |
3.Интерполирование функций................................................................... |
21 |
3.1.Постановка задачи. Алгебраическое интерполирование. ............ |
21 |
3.2.1 Интерполяционный полином в форме Лагранжа. ................... 22 |
|
3.2.2. Интерполяционный полином в форме Ньютона. ...................... |
24 |
3.3.Остаточный член интерполяционного полинома. Оценка |
|
погрешности интерполирования. .................................................................... |
25 |
3.4. Минимизация погрешности интерполирования........................... |
25 |
3.5. Сходимость интерполяционного метода....................................... |
27 |
3.6. Устойчивость интерполяционного полинома относительно |
|
погрешности вычисления y(x). ........................................................................ |
29 |
3.7. Интерполяция сплайнами. .......................................................... |
30 |
3.7.1.Обсуждение способа построения кубического |
|
интерполяционного сплайна с дефектом 1. ................................................... |
31 |
3.7.2.B сплайны. ...................................................................................... |
32 |
2 |
|
Среднеквадратичное приближение ........................................................ |
33 |
4. |
|
4.1.Постановка задачи для f(x). .............................................................. |
33 |
4.2.Постановка задачи для приближения векторов ............................. |
34 |
4.3.Определения................................................................................... |
35 |
4.4.Решение задачи. ............................................................................. |
37 |
5.Ортогонализация ...................................................................................... |
38 |
5.1.Постановка задачи ............................................................................. |
38 |
5.2.Процедура построения системы ортогональных базисных |
|
элементов. ........................................................................................................... |
38 |
6.Равномерное приближение функций...................................................... |
40 |
7.ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ........................................ |
42 |
8.Численное интегрирование...................................................................... |
45 |
8.1.Постановка задачи численного интегрирования............................ |
45 |
8.2. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами |
|
(формулы Ньютона – Котеса)........................................................................... |
48 |
8.3.Составные квадратурные формулы. ................................................ |
50 |
8.3.1.Простейшие составные квадратурные формулы. ....................... |
51 |
8.3.1.1. Составная формула левых прямоугольников. ..................... |
52 |
8.3.1.2. Составная формула правых прямоугольников.................... |
53 |
8.3.1.3. Составная формула трапеций................................................ |
53 |
8.3.1.4. Составная формула Симпсона. ............................................. |
55 |
8.4.Квадратурные формулы наивысшей степени точности |
|
(формулы Гаусса)............................................................................................... |
55 |
8.5.Практическая оценка погрешности (правило Рунге)..................... |
60 |
3 |
|
8.6.Адаптивные процедуры численного интегрирования. ................. |
61 |
8.7.Обусловленность квадратурных формул |
|
интерполяционного типа.................................................................................. |
62 |
8.8.Примеры использования квадратурных формул........................... |
63 |
8.9.Применение формул НьютонаКотеса. ......................................... |
66 |
8.10.Применение формул Гаусса. ......................................................... |
68 |
8.11. Замечания о точности квадратурных формул. ........................... |
69 |
9.Дополнительные элементы линейной алгебры и теории матриц ....... |
70 |
9.1.Собственные числа и векторы..................................................... |
71 |
9.2.Решение системы линейных однородных уравнений с |
|
вырожденной матрицей................................................................................ |
72 |
9.3.Подобное преобразование. .................................................................. |
76 |
9.4.Приведение к канонической форме Жордана............................ |
77 |
9.5.Вычисление матрицы преобразования. ...................................... |
79 |
9.6. Функции от матриц.............................................................................. |
87 |
9.7.Многочлен Лагранжа – Сильвестра................................................... |
89 |
9.8.Свойства матричной экспоненты. ....................................................... |
92 |
9.9.Использование канонической формы Жордана при |
|
вычислениях матричных функций. ..................................................................... |
92 |
9.10.Дифференциальные уравнения и матричная экспонента. .............. |
94 |
9.11.Решение системы разностных уравнений. ....................................... |
96 |
9.12.Матричные нормы. ............................................................................. |
99 |
9.13.Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных и |
|
разностных уравнений........................................................................................ |
100 |
9.13.1. Основные понятия теории устойчивости........................... |
100 |
4 |
|
9.13.2..Анализ устойчивости решения систем линейных |
|
обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными |
|
коэффициентами. ......................................................................................... |
102 |
9.13.3.Анализ устойчивости решения систем линейных |
|
разностных уравнений с постоянными коэффициентами. ...................... |
103 |
10.Численные методы решения обыкновенных |
|
дифференциальных уравнений........................................................................... |
105 |
10.1. Постановка задачи. ........................................................................... |
105 |
10.2.Метод аналитического продолжения ( метод рядов)..................... |
106 |
10.2.1.Методы Эйлера. .............................................................................. |
109 |
10.2.3.Методы Рунге – Кутты................................................................... |
112 |
10.2.4.Контроль точности методов Рунге – Кутты. ............................... |
115 |
10.3. Методы эквивалентных интегральных уравнений ....................... |
116 |
10.4. Свойство жесткости систем дифференциальных уравнений....... |
121 |
11.Решение систем линейных алгебраических уравнений. .................. |
123 |
11.1.Постановка задачи. ........................................................................ |
123 |
11.3.Обусловленность задачи решения системы линейных |
|
алгебраических уравнений.............................................................................. |
126 |
11.4.Прямые методы решения систем линейных |
|
алгебраических уравнений.............................................................................. |
128 |
11.4.1.Метод Гаусса и LU разложение. ............................................... |
128 |
11.4.2.Метод Холецкого (метод квадратного корня). ........................ |
135 |
11.4.3.QR разложение матрицы и решение систем линейных |
|
алгебраических уравнений.............................................................................. |
138 |
5
11.5.Сравнительный анализ вычислительной устойчивости |
|
прямых методов решения систем линейных алгебраических |
|
уравнений......................................................................................................... |
141 |
11.6.Итерационные методы решения систем линейных |
|
алгебраических уравнений. ................................................................................. |
142 |
11.7.Решение линейных алгебраических систем с |
|
трехдиагональной матрицей методом прогонки. ........................................ |
146 |
12.Методы отыскания решений нелинейных уравнений. .................... |
148 |
12.1. Постановка задачи. ...................................................................... |
148 |
12.2. Основные этапы решения. .......................................................... |
148 |
12.3. Обусловленность задачи вычисления корня............................. |
149 |
12.4. Методы отыскания решений нелинейных уравнений. ............ |
151 |
12.4.1 Метод бисекции. ........................................................................ |
151 |
12.4.2 Метод простых итераций. ......................................................... |
152 |
12.4.3 Метод Ньютона. ........................................................................ |
154 |
Доп. замечания. ..................................................................................... |
158 |
13.Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений. ....... |
159 |
13.1. Постановка задачи. ...................................................................... |
159 |
13.2. Разложение в ряд Тэйлора вектор - функции F=(f1, |
|
f2,…,fn)T......................................................................................................... |
160 |
13.3. Метод Ньютона. ....................................................................... |
160 |
13.4. Метод простых итераций. ....................................................... |
161 |
13.5. Упражнения.............................................................................. |
162 |
14. Методы решения проблемы собственных значений....................... |
164 |
14.1. Постановка задачи. ...................................................................... |
164 |
6 |
|
14.2.QR алгоритм.............................................................................. |
166 |
14.3. Метод Якоби для действительных симметричных |
|
матриц. .......................................................................................................... |
168 |
14.4. Степенной метод....................................................................... |
169 |
14.5. Метод обратных итераций для вычисления собственных |
|
векторов. ....................................................................................................... |
171 |
14.6. Упражнения............................................................................... |
173 |
15.Введение в минимизацию функций.................................................... |
175 |
15.1.Минимизация функции одной переменной. ............................... |
175 |
15.1.1. Постановка задачи. Определения. ........................................... |
175 |
15.1.2. Метод деления отрезка пополам.............................................. |
176 |
15.1.3. Метод золотого сечения............................................................ |
178 |
15.2.Введение в многомерную минимизацию. ............................... |
180 |
15.2.1. Постановка задачи. .................................................................... |
180 |
15.2.2. Поверхности уровня. Градиент и матрица Гессе. |
|
Необходимые и достаточные условия локального минимума.................... |
180 |
15.2.3. Задача минимизации квадратичной функции. ....................... |
182 |
15.2.4. Обусловленность задачи минимизации. ................................. |
184 |
15.2. 5. Понятие о методах спуска. ...................................................... |
184 |
15.2.7. Градиентный метод. .................................................................. |
186 |
15.2.7.1.Метод наискорейшего спуска. ........................................... |
187 |
15.2.7.2. Метод сопряженных градиентов. ..................................... |
189 |
Метод сопряженных градиентов в общем случае ........................ |
191 |
15.2.8. Метод Ньютона.......................................................................... |
192 |
7 |
|
15.2.8.1. Простейший вариант метода Ньютона............................ |
192 |
15.2.8.2. Метод Ньютона с дроблением шага. ............................... |
193 |
15.2.8.3. Понятие о квазиньютоновских методах......................... |
194 |
15.2.9. Метод Левенберга – Марквардта. ....................................... |
196 |
16.Методы решения краевой задачи для линейных |
|
обыкновенных дифференциальных уравнений. ...................................... |
197 |
16.1. Постановка задачи. ...................................................................... |
197 |
16.2. Метод стрельбы (баллистический метод). ................................ |
198 |
16.3. Разностный метод (метод конечных разностей). ................. |
199 |
17.Сингулярное разложение и метод наименьших квадратов. ............ |
200 |
17.1. Решение переопределенной системы уравнений. .................... |
200 |
17.2. Сингулярное разложение матрицы. ........................................... |
204 |
17.3. Метод наименьших квадратов с использованием |
|
сингулярного разложения. ............................................................................. |
205 |
18. Псевдообратная матрица.................................................................... |
208 |
Псевдообратные матрицы................................................................ |
208 |
Пусть .................................................................................................. |
208 |
Рекомендуемая литература................................................................... |
212 |
8
1.Введение.
Вычислительная математика занимается разработкой численных методов решения математических задач. Численное решение содержит набор чисел с ограниченным количеством десятичных цифр и уже по этой причине всегда является приближенным. Это в свою очередь обусловливает необходимость анализа адекватности решения. (Как это сделать?).
1.1.Источники погрешностей.
Вычислительная математика имеет дело с математическими моделями исследуемых процессов и явлений. Наличие погрешностей обусловлено рядом причин:
1.Погрешность модели.
2.Погрешность исходных данных.
3.Методическая погрешность.
4.Вычислительная погрешность (погрешность округления).
1.2.Погрешность округления.
Имеем дело с вещественными числами, которые, как правило,
представлены в форме с плавающей запятой: , где β –
основание системы исчисления; M- мантисса (0≤M<β), l- порядок числа.
Упрощенная структура машинного слова для хранения вещественных чисел имеет вид:
Sp |
SM |
P0 P1…. Pk-1 Pk |
d1 d2 …… dt |
|
|
|
|
Sp – код знака порядка;
SM – код знака мантиссы;
9
k+1 – количество разрядов порядка; t – количество разрядов мантиссы.
Множество хранимых чисел:
fl(x) =
l
0 ≤ di ≤ β-1; i= 1, …, t.
0 ≤ pj ≤ β-1; j = 0,…,k.
Обычно предполагают d1 ≠ 0 (нормированные системы).
Здесь x R, а fl(x) F, F – множество чисел, хранимых в ЭВМ.
В отличие от R, F дискретно и содержит конечное число элементов,
то есть существуют fl(x1), fl(x2) F, между которыми нет элементов,
принадлежащих F. Возникает относительная погрешность .
Её максимальная величина носит название машинной точности
εM ≈ β-t. При компьютерных вычислениях получается
(1+ εM)fl(x) = fl(x). Таким образом, уже в процессе ввода числа в ЭВМ возникает относительная погрешность εM.
Минимальное положительное число, представимое в ЭВМ,
называется машинным нулем
0M |
|
; |
. Если |
, то fl(x) = 0 |
|
(исчезновение порядка).
Максимальное по модулю число, представимое в ЭВМ,
называется машинной бесконечностью . Если ,
возникает переполнение разрядной сетки и вычисления аварийно останавливаются.
1.3.Особенности машинной арифметики
Пример 1. Пусть t = 8, тогда 108+1 -108 = 0; 108 -108 + 1 = 1.
10