Вычислительная математика лекции

Двум клеткам Жордана соответствуют две независимые системы. Первая содержит три уравнения (1'), (2'), (3'), вторая два уравнения (1''), (2'').

Гарантируется существование линейно независимых

векторов, удовлетворяющих обеим системам уравнений.

Вычислим соответствующие векторы для первой системы.

В общем случае, если бы размер клетки был равен "к" , вместо

трёх уравнений (1') (2') (3') пришлось бы записать "к" аналогичных уравнений, а вместо уравнений (4') (5') "к-1" соответствующих уравнений. Последнее уравнение имело бы номер (2к-1) и выглядело

последнего уравнения, последовательно из уравнений с номерами к, к-1,…,2 находят sk-1,sk-2,…,s1.

Последовательность решения.(Вариант 1).

1.Решаем систему однородных уравнений (5'). В качестве s3 выбираем одно из линейно-независимых решений.

2.Из (3') находим s2 .

3.Из (2') находим s1 .

4.Проверяем невырожденность матрицы S (s1 s2 s3 ) .

Если матрица S оказалась вырожденной, в п.1

81

выбираем в качестве s3 другое линейно независимое решение и возвращаемся к п.2.

ВТОРОЙ ВАРИАНТ. Из (1') вычисляем собственный вектор s1.Векторы s2 и s3 находим, последовательно решая неоднородные системы уравнений (2') и (3') с вырожденной матрицей. Этот вариант работает только в том случае, если собственное число λ1 содержится в единственной клетке Жордана.

Система уравнений (1'') и (2''), соответствующая другой клетке матрицы Жордана, решается аналогичным образом.

Количество независимых систем равно числу клеток в форме Жордана.

Проиллюстрируем расчёт матрицы S, взяв исходные данные из Примера1 в предыдущем разделе.

ВАРИАНТ 1.

Уравнения (1) (2) (3) (4) (5) будут выглядеть следующим образом:

следовательно, S не вырождена.. Контрольная проверка AS =

ВТОРОЙ ВАРИАНТ.

1

Из (1') найдем s1 1

2

Применяя метод исключения Гаусса, из (2') получаем

83

B=(A+5E|s1)=

В качестве свободной переменной используем последнюю компоненту искомого вектора. Приравняв значение

Для второй иллюстрации используем Пример2

предыдущего раздела.

Уравнения (1) (2) (3) записываются следующим образом

84

Уравнение (1'') изолировано от двух других и решается независимо. Поэтому в качестве s1 можно принять вычисленный ранее собственный вектор

Воспользуемся п р и м е р о м 3 предыдущего раздела.

Уравнения (1), (2) и (3) выглядят следующим образом:

(1) As1 = 0

85

(2)As2 = 0

(3)As3 = s2

Уравнение (1) изолировано. В качестве s1 можно взять один из ранее рассчитанных собственных векторов, например,

2 s1= е(λ1)1 = = 0 .

1

Попытка решать сначала (2), а потом (3) приводит к неудаче: (3) оказывается несовместным. Поэтому (2) и (3)

заменяем парой эквивалентных уравнений:

(2') As3 = s2

(3') A2 s3 = 0.

Решая (3'), находим три линейно независимых вектора

Проверка подтверждает правильность расчета

86

9.6.Функции от матриц.

9.6.1.Введение, замечания, определения и теоремы.

Пусть задан многочлен m-ой степени Pm(x)=amxm+ am-1xm-1

+…+ a0 и квадратная матрица An×n . Будем называть матричным полиномом Pm(A) матрицу, получающуюся из Pm(x) при подстановке в него матрицы А вместо x.

Теорема1. Собственные значения многочлена от квадратной матрицы являются аналогичными многочленами от собственных значений исходной матрицы.

Доказательство. Ax=λx. Умножим обе части равенства слева на матрицу А: A2x=λAx=λ2x. Продолжая эти операции, получаем

Akx=λkx. Таким образом, λ(Ak)=[λ(А)]k . Другими словами,

собственные числа матриц А и Ак равны λ и λk , а собственные векторы совпадают. Если две матрицы А и В имеют одинаковые собственные векторы x, то (А+В)x=Ax+Bx=λAx+ λBx =( λA+ λB)x.

матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. χn(λ)= λn+ an-1λn-1 +…+ a0λ0=0

χn(A)= An+ an-1An-1 +…+ a0E. Умножая обе части равенства на собственный вектор x матрицы А, получаем χn(A)x= (An+ an-1An-1 +

+…+ a0E)x= (λn+ an-1λn-1 +…+ +a0λ0)x=0x =0. Так как собственный вектор x не равен нулю, то χn(A)=0.

С л е д с т в и е 1. Если существует А-1, то А-1(An+ an-1An-1 +…+

+a0E) =(An-1+ an-1An-2 +…+ a0А-1)=0. Таким образом, А-1=(An-1+ +an-1An-2 +…+ a1E)/a0.

87

Говорят, что характеристический многочлен является аннулирующим многочленом матрицы А.

Приведенный аннулирующий многочлен наименьшей степени называется м и н и м а л ь н ы м многочленом матрицы А.

Перечислим некоторые свойства минимального многочлена. 1. Любой аннулирующий многочлен матрицы А делится на её

минимальный многочлен.

2.Для любой матрицы её минимальный многочлен единственен.

3.Подобные матрицы имеют один и тот же минимальный многочлен.

Следующие свойства указывают способы вычисления минимального многочлена.

1.Характеристический и минимальный многочлены матрицы простой структуры совпадают.

2.Пусть λ1,…,λr попарно различные собственные значения матрицы А, s1,…,sr максимальные размеры соответствующих им клеток Жордана. Тогда минимальный многочлен матрицы А имеет

Если для некоторых λi существуют несколько клеток одинакового размера, этот размер выбирается один раз.

9.6.2. Определение матричных функций с помощью рядов.

Рассмотрим функции, представимые степенными рядами

ex 1 x x2 x3 ...

2! 3!

sin(x) x x3 x5 ...

3! 5!

cos(x) 1 x2 x4 ...

2! 4!

88

Функцией f(A) от матрицы А будем называть тот предел,

который получается при подстановке матрицы А в соответствующее степенное разложение.

eA E A A2 A3 ...

2! 3!

При таком способе определения матричных функций сохраняется свойство, ранее доказанное для степенных многочленов : λ(f(А))=f(λ(A)).

9.7.Многочлен Лагранжа – Сильвестра.

Оказывается матричную функцию можно определить,

используя не бесконечный степенной ряд, но алгебраический полином конечной степени.

Как и ранее задача ставится следующим образом: задана

функция f(λ), требуется вычислить f(A).

Многочлен Лагранжа – Сильвестра это интерполяционный

многочлен, построенный на спектре матрицы А для заданной функции f(λ).

Пусть минимальный аннулирующий многочлен имеет вид

ψ(λ) = (λ-λ1)m1 (λ-λ2)m2…(λ-λs)ms, m1+ m2+…+ ms=m.

Набор из m чисел f(λk), f’(λk), …, f(mk-1)(λk), k=1,2,…,s будем называть значениями f(λ) на спектре матрицы А. Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и f(λ) имеется один и только один многочлен r(λ) степени не выше m-1. Этот многочлен однозначно определяется интерполяционными условиями r(λk)= f(λk), r’(λk)=

интерполяционный полином, построенный на указанных узлах.

89

З а м е ч а н и е. В общем случае набор интерполяционных

условий содержит кратные узлы ( в одном и том же узле заданы значения интерполируемой функции и ряда её производных).

Существует обобщение интерполяционной формулы Лагранжа на этот случай (это общение называют полиномом Эрмита).

Многочлен r(λ) называют интерполяционным многочленом

Лагранжа – Сильвестра для функции f(λ) на спектре матрицы А.

Т е о р е м а Л а г р а н ж а – С и л ь в е с т р а. Пусть f(λ)

функция, определенная на спектре матрицы А, а r(λ) –

соответствующий интерполяционный многочлен Лагранжа – Сильвестра. Тогда f(A) = r(A).

З а м е ч а н и е. Если минимальный многочлен ψ(λ) не имеет

кратных корней, то для того чтобы f(A) имело смысл, достаточно,

чтобы f(λ) была определена в характеристических точках λi

(i = 1,2,…,m). Если же кратные корни имеются, то в некоторых характеристических точках должны быть определены и производные от f(λ) до известного порядка.

Для матриц простой структуры всегда m=n.

В первом случае интерполяционный многочлен Лагранжа –

Сильвестра строится традиционным образом:

Во втором случае способ построения интерполяционного полинома усложняется. В интерполяционных условиях присутствуют кратные узлы. Как уже указывалось, существует обобщение способа построения интерполяционной формулы Лагранжа на этот случай. В

90