33.Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.

Кутом між прямою та площиною називається кут між цією прямою і її проекцію (ортогональною) на площину. Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює , а між паралельними прямою та площиною таким, що дорівнює . Кут між прямою та площиною і кут між цією прямою й перпендикуляром до площини в сумі дорівнюють . На рисунку . 

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

На рисунку: ;  ;  ; a і b — мимобіжні; .

Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок). На рисунку . Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. 

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.

Теорема 1. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпен­дикулярна до даної площини.

Мал. 3 Мал. 4

Доведення. Нехай а — пряма, перпендикулярна до пря­мих бісу площині .

Тоді пряма а проходить через точку А перетину прямих b і с (мал. 4). Доведемо, що пряма а перпендикулярна до площини .

Проведемо довільну пряму х через точку А у площині а і покажемо, що вона перпендикулярна до прямої а. Проведемо у площині довільну пряму, яка не проходить через точку А і перетинає прямі b, с і х. Нехай точками перетину будуть В, С і X. Відкладемо на прямій а від точки А в різні боки рівні відрізки: і АА₂. Трикутник рівнобедрений, оскіль­ки відрізок АС є висотою за умовою теореми і медіаною — за побудовою ( =АА₂). З тієї ж причини трикутник теж рівнобедрений. Отже, трикутники і А₂ВС рівні за третьою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників і А₂ВС випливає рівність кутів ВХ, А₂ВХ і, отже, рівність трикутників ВХ i А₂ВХ за пер­шою ознакою рівності трикутників. З рівності сторін Х і А₂Х цих трикутників робимо висновок, що трикутник ХА₂ рівнобедрений. Тому його медіана ХА є також висотою. А це означає, що – пряма х перпендикулярна до . За означенням пряма а перпендикулярна до площини а . Теорему доведено.

34.Криві другого порядку. Рівняння кола.

Лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівняння вигляду

,

де  – дійсні числа, причому хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Зокрема, до ліній другого порядку належать такі лінії: коло, еліпс, гіпербола і парабола. Лінії другого порядку називають також конічними перетинами через те, що їх можна дістати як лінії перетину кругового конуса з площиною (рис. 27).

 

Алгебраїчне означення

Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

Загальне рівняння кола:

Якщо відомі координати трьох точок на площині і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник:

Параметричне означення

Коло на площині, даного радіуса , у певній вибраній декартовій системі координат і , описується системою рівнянь:

де параметр — пробігає значення від до . З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаєм:

Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

де a – радіус кола, r₀ - відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуєм рівняння:

.

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

,

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина

Рівняння кола на комплексній площині:

або в параметричному вигляді