Мікроканонічний розподіл

Якщо система знаходиться в стані рівноваги, то середні значення будь-яких її параметрів не будуть залежати від часу. Тому функція розподілу повинна залежати тільки від інтегралів руху системи. Основним інтегралом руху є повна механічна енергія системи Е або функція Гамільтона Н. Відповідно, найпростіший загальний вид функції розподілу буде w(х)=w(Н).

Функція Гамільтона залежить від 6H змінних системи х і від зовнішніх параметрів а, тобто Н(х,а). безпосередній висновок функції розподілу з механіки поки ще не розв'язана проблема.

Розглянемо адіабатичну, тобто замкнуту систему з певною енергією. Отриманий розподіл w(х) записують так:

Знайдена функція розподілу для адіабатичної системи називається мікроканонічним розподілом (мал. 27).

Канонічний розподіл Гіббса

Тепер знайдемо функцію розподілу w (х) для ізотермічної системи, що знаходиться в термостаті. При цьому ізотермічну систему можна розглядати як деяку частину ще більшої системи. Для цієї частини великої системи і потрібно знайти функцію розподілу w(х).

Канонічний розподіл Гіббса запишеться у вигляді

Оскільки з N частинок можливо N! перестановок, той фазовий простір системи тотожних частинок слід зменшити в N! раз.

Термодинамічний зміст параметрів канонічного розподілу.

модуль канонічного розподілу  володіє наступними двома властивостями термодинамічної температури:

1) Термодинамічні системи з однаковими температурами знаходяться в рівновазі між собою.

2. Величина, зворотна температурі, є інтегруючим множником для зміни кількості теплоти системи dQ.

Поняття статистичної температури має на увазі наявність системи частинок. Не можна, наприклад, застосовувати поняття температури для однієї або дуже малого числа частинок. Статистична температура характеризує розподіл систем у фазовому просторі, будучи модулем канонічного розподілу.

Параметр канонічного розподілу  має зміст «вільної енергії». Дійсно, в термодинаміці показується, що узагальнені сили рівні похідній від вільної енергії по відповідній узагальненій координаті, узятій із зворотним знаком.

називається інтегралом станів і грає важливу роль в статистичній фізиці.

Інтеграл станів відображає внутрішній стан системи, оскільки інтеграція проводиться по всіх мікростанах системи. Іншими словами Z. є функцією стану і залежить від a_k і Q.

Інтеграл станів придбаває особливо важливе значення у зв'язку з тим, що з його допомогою можна обчислити для будь-якої статистичної системи вільну енергію, а отже, і ряд інших термодинамічних параметрів.

2.5

Розподіл Максвела

Уявимо собі простір швидкостей з прямокутними координатними осями, по яких відкладатимемо значення проекцій їх V_x, V_y, V_z окремих молекул. Тоді швидкості кожної молекули відповідатиме крапка в цьому просторі - кінець вектора V. Із-за зіткнень молекул положення крапок стрімко мінятимуться, але їх розподіл в цілому залишатиметься незмінним, оскільки макросистема знаходиться в термодинамічній рівновазі.

Унаслідок рівноправності всіх напрямів руху розташування крапок щодо початку координат буде сферично симетричним. Тому щільність крапок може залежати тільки від модуля швидкості V (але не від об’єму v).

Графік функції (v_x) зображений на рис. 2.3. Він співпадає з гауссовою кривою похибок. Площа тонованої смужки на рис 2.3 - це ймовірність того, що проекція швидкості молекули лежить в інтервалі, (v_х, v_х + dv_x).

Функція (2.16) нормована на одиницю, тобто площа під кривою (v_x)

= 1 (2.18)