И их вычисление

1. Определения. Если есть определитель Фредгольма для ядра и то называют собственным значением ядра .

Далее, если непрерывна, не обращается тождественно в нуль в интервале и удовлетворяет уравнению

то называют собственной функцией ядра , принадлежащей собственному значению .

Функции образуют полную систему собственных функций ядра принадлежащих собственному значению , если каждое другое решение выражается линейно через эти q решений. Таким образом, если - какие-либо другие q решений, то должны иметь место q соотношений

………….………………. ,

Если, кроме того,

то функции в свою очередь образуют другую полную систему собственных функций, принадлежащих .

Для строгого доказательства второй фундаментальной теоремы Фредгольма, а также для нахождения фундаментальных функций по формуле (10.4) необходимо определить миноры Фредгольма высших порядков

а) Определение p-го минора для .

P-й минор для , по определению, выражается рядом

, (30)(11.1)

который при p=1 приводится к где (29)

(28)

С помощью теоремы Адамара можно доказать, вполне анало­гично тому, как мы делали это раньше, следующую теорему.

Теорема 9. Бесконечный ряд для абсолютно сходится для всех значений и равномерно относительно ; , удовлетворяющих неравенствам , .

Следствие. Если два значения x с различными индексами становятся равными, например , или же два значения y: , то обращается в нуль.

Действительно, тогда в определителе, стоящем в выражении (28) (11.3) для под знаком интеграла, две строки (два столбца) становятся одинаковыми. Поэтому

,

и, следовательно,

На таком же основании, если в переменить местами два или же два с разными индексами, то переменит знак.

§12. Вычисление собственных значений и собственных функций по методу Келлога

Выпишем линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода и рассмотрим линейный интегральный оператор

_{(11.4) (12.1)}

- вещественная и непрерывная функция, при этом ядро симметрическое .

Ранее было доказано существование собственных функций ядра удовлетворяющих этим требованиям. Рассмотрим метод их конструктивного определения, например, путем последовательных приближений по методу Келлога.

Докажем, что собственные функции и собственные значения могут быть найдены методом последовательных приближений.

1. Возьмём произвольную непрерывную функцию , такую,

что и пусть

_(11.2) (11.5) (12.2)

Обозначим , тогда

, (11.3) (11.6) (12.3)

где .

Доказательство. Пусть , а , тогда в силу симметрии оператора найдём

Для нормированных функций тогда из (12.2) имеем откуда положив получаем

(11.4) (11.7) (12.4)

2. Докажем сходимость последовательности .

Т.к. , то в силу неравенства Коши-Буняковского , тогда следует или и последовательность - монотонно невозрастающая и ограничена снизу, следовательно существует .

Покажем, что , для этого, соотношение (12.2) умножим на , проинтегрируем по и воспользуемся неравенством Коши-Буняковского.

, отсюда следует и где

При . Что и требовалось доказать.

3. Убедимся, что , тогда и

Действительно выбрана так, что и, следовательно, и . Из неравенства и т.д. для .

4. Докажем, что чётные итерации сходятся в среднем к

некоторой функции , а нечётные к .

Функции непрерывны и нормированы на единицу. Оператор переводит такие функции в последовательность равномерно ограниченных и равностепенно-непрерывных функций (см. теоремы функционального анализа). Т.к. , то последовательность состоит из равномерно ограниченных и равностепенно-непрерывных функций. По доказанному, тогда отсюда следует что последовательность также состоит из равномерно ограниченных и равностепенно-непрерывных функций, что верно в отдельности и для последовательностей и .

По теореме Арцела существует подпоследовательность последовательности , равномерно сходящаяся к некоторой непрерывной функции и из равномерной сходимости следует сходимость к в среднем. Далее можно доказать, что из этой сходимости следует , что вся последовательность сходится к в среднем. Аналогично, устанавливается сходимость в среднем последовательности к некоторой непрерывной функции и доказывается что из равностепенной непрерывности и сходимости в среднем следует её равномерная сходимость к рассмотреть самостоятельно. И так равномерно. Аналогично доказывается, что также равномерно. Совершая предельный переход в (12.4) () по последовательности с чётными и нечётными номерами, получим

, (11.5) (11.8) (12.5)

Откуда или

Последнее равенство возможно в двух случаях:

а) , т.е. и является собственным значением уравнения (12.1), а из (12.5) что .

б) , тогда , или .

Следовательно, является собственным значением уравнения (11.1) (11.4) (12.1) . Из (11.5) (11.8) (12.5) тогда следует, что

Таким образом, либо , тогда , либо и тогда являются собственным значением и собственной функций уравнения (11.4) (12.1).

Итак, мы доказали существование собственных значений и собственных функций и построили алгоритм их определения.

Пример. Найти собственные значения и функции уравнения

(11.6) (11.9)

Возьмем и в соответствии с (11.2) (11.5) при n=1,2,…,n найдём

……………………………………………………………………

Далее находим и строим нормированные функции _{откуда следует}

т.е. - является собственной функцией данного интегрального уравнения, соответствующей собственному значению .