![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом последовательных приближений
- •§3. Уравнения с вырожденными ядрами
- •§4. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью ряда Неймана
- •§5. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Фредгольма
- •§6. Решение линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом последовательных подстановок
- •§7. Уравнение Фредгольма как предел системы конечного числа линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные соотношения Фредгольма
- •§8. Доказательство сходимости рядов Фредгольма
- •§9. Решение интегрального уравнения, данное Фредгольмом при . Первая фундаментальная теорема Фредгольма
- •20…§10. Решение однородных интегральных уравнений. Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •И их вычисление
- •§12. Вычисление собственных значений и собственных функций по методу Келлога
- •§13. Сопряжённые однородные интегральные уравнения
- •§23. Перед тем, как перейти к исследованию неоднородного интегрального уравнения при , рассмотрим однородное интегральное уравнение
- •§15. Теорема Адамара
- •§16. Обзор других методов решения. Приближённые методы решения
- •§16. Задачи для самостоятельного решения
- •Примерный вариант тест-контрольной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Тест-контрольная по интегральным уравнениям Вольтерра
- •1 Вариант
- •9.Записать решение уравнения, если резольвента ядра известна
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант теста по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Ответы к тестам по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Блок1. Интегральные уравнения Вольтерра
20…§10. Решение однородных интегральных уравнений. Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
Рассмотрим сначала случай для однородного уравнения
(26)
(10.1)
если
и
или
Пусть
будет
значение
,
для которого
(25)
(10.2)
Будем решать теперь однородное интегральное уравнение (10.1) для этого частного значения параметра
. (26)
Решение
уравнения
мы получим с помощью первого
фундаментального соотношения
(7.11)(19)
Фредгольма, которое имеет место для
всех значений
и, следовательно, для
.
При этом значении параметра
формула (19)(7.11)
переходит, по (25)(10.2),
в
.
Это
равенство имеет место для всех значений
в промежутке
,
значит,
в частности, и для
.
Но
это и есть как раз уравнение (
)(26),
где
заменено
на
.
Таким
образом, мы видим, что
есть
решение уравнения
)(26).
Более того, это решение непрерывно, так
как ряд
сходится
равномерно относительно
и
и его члены непрерывны. Но
может
быть тождественно равно нулю для всех
либо
при специальном выборе значения
—
и в этом случае мы можем взять какое-нибудь
другое значение для
,
при котором этого тождественного
обращения в нуль уже не будет, — либо
если
для всех
и
и в этом случае приведенное решение
сводится к тривиальному
,
независимо от выбора
.
Таким образом, мы доказали следующую
теорему.
Теорема 6.
Если
и
,
то функция
при надлежащем выборе значения
будет непрерывным решением уравнения
не равным тождественно нулю.
В только что установленной теореме условие
можно
заменить условием
.
Это можно доказать используя следующую
формулу
. (27)(10.3)
Для
доказательства этой формулы представим
и
в
виде степенных рядов
,
где определяется формулой(8.2) (15). Отсюда
.
В
полном выражении для
вместо
подставим
.
Тогда будем иметь
Меняя
здесь порядок интегрирования, а именно
интегрируя сперва
по
,
получаем
,
что согласно формуле(8.4) (17) переходит в
,
так как
Поэтому
.
Но
есть ряд, равномерно сходящийся относительно . Поэтому мы можем в выражении для переменить порядок суммирования и интегрирования и написать
.
Умножая
обе части этого равенства на
и
принимая во внимание формулу (8.3) (16),
убеждаемся в том, что действительно
. (10.3)(27)
Предположим
теперь, что
и
.
Тогда, во всяком случае,
,
так как
.
Поэтому, если мы положим в формуле (10.3)
(27)
,
то правая часть этого равенства будет
отлична от нуля, а значит, и левая
часть не будет равна нулю. Из этого
вытекает, что
и, следовательно,
.
Значит,
действительно условие
в
теореме V можно заменить условием
Заметим
далее, что если
есть
решение однородного интегрального
уравнения
(26),
то
,
где
есть произвольный постоянный
множитель, также является решением
этого уравнения. Таким образом,
имеется бесчисленное множество решений,
отличающихся друг от друга только
постоянным множителем. Это находится
в полной аналогии с положением дел для
конечной системы линейных алгебраических
уравнений
с
определителем
.
Действительно, если
,
причем по крайней мере один из первых
миноров не равен нулю, то эти уравнения
определяют единственным образом
отношение величин
,
т.
е.
.
Но равенство
соответствует
обращению
в
нуль, а неисчезновение
по крайней мере одного из первых
миноров соответствует условию
.
Пример 6. Найти решение интегрального уравнения
!!!....
Решение.
Опираясь на исследование и решение уравнений Фредгольма, как предела системы конечного числа линейных алгебраических уравнений, можно сформулировать теперь вторую, а затем и третью фундаментальные теоремы Фредгольма.