§2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом последовательных приближений

Рассмотрим линейное уравнение второго рода

. (2.1)

Теорема 1. Уравнение (2.1), если свободная функция и ядро - непрерывные функции при , имеет единственное непрерывное решение при достаточно малом значении параметра . Это решение может быть найдено методом последовательных приближений.

Доказательство. Примем за начальное приближение свободную функцию .

Выпишем рекуррентную формулу последовательных приближений по методу Пикара

(2.2)

В соответствии с условием теоремы имеем ограничения и используя которые оценим последовательные приближения (2.2) по модулю

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Тогда для сходимости метода необходимо выполнение условия

(2.3)

Так как при получим ряд составленный из членов геометрической прогрессии который сходится при условии (2.3), то

(2.4)

Методом от противного можно доказать единственность полученного решения, аналогично как и для уравнений Вольтерра.

Пример 1. Решить интегральное уравнение применив метод последовательных приближений

Решение. Приняв за начальное приближение к решению свободную функцию, последовательно найдём

…………………………………………………………………………… ,

……………………………………………………………………,

Сделать проверку, подставив полученное решение в исходное уравнение.

§3. Уравнения с вырожденными ядрами

Рассмотрим инте­гральные уравнения, ядра которых имеют вид

Интегральное уравнение Фредгольма

можно будет теперь написать в виде

(3.1)

или, если положить

, (3.2)

в виде

(3.3)

Подставляя в формулу (3.2) значение функции из равенства (3.3), мы получим для определения постоянных уравнений

(3.4)

которые после введения обозначений

примут вид

(3.5)

Уравнения (3.5) представляют собой систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных с определителем

.

Из теории линейных алгебраических уравнений мы полу­чаем сразу следующие результаты:

а) Если , то уравнения (3.4) допускают одну и только одну систему решений , определяемых по фор­мулам Крамера. Поэтому уравнение (3.1) имеет одно и только одно решение, представляющееся формулой (3.3).

б) Если для некоторого (что имеет место для значений , вещественных или же комплексных) и первым минором определителя , не обращающимся в нуль при , является какой-либо минор -го порядка (т.е. опреде­литель -го порядка), то общее решение одно­родной системы (3.4) при будет иметь вид

,

где - произвольные постоянные.

Если мы вставим найденные таким образом значения в (3.3), то получим:

,

где функции

линейно независимы.

Таким образом, мы видим, что при выполнении неко­торых условий однородное интегральное уравнение с пара­метром имеет линейно независимых решений.

Сопряженное уравнение

(3.6)

получится из уравнения (3.1) после перемены местами всех функций и . Общий член определителя уравнения (3.1) был:

.

Поэтому общий член определителя для сопряженного уравнения будет:

.

Эти два определителя равны друг другу, так как один полу­чается из другого путем перестановки столбцов и строк. Поэтому уравнение (3.1) и сопряженное уравнение (3.6) имеют одинаковые собственные значения с одинаковыми рангами.

Из общей теории мы знаем, что если есть корень урав­нения ранга , то для того, чтобы неоднородное урав­нение (3.1) могло иметь решение, необходимо, чтобы выпол­нялись условия

.

Пример 2. Решить интегральное уравнение применив метод вырожденных ядер

Решение. Из под интеграла вынесем x и положим

тогда данное уравнение перепишется откуда найдём и, затем, подставив полученное выражение для в заданное уравнение

и вычислив интеграл, найдём

И, затем, подставив это значение В в выражение для

найдём решение интегрального уравнения