![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом последовательных приближений
- •§3. Уравнения с вырожденными ядрами
- •§4. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью ряда Неймана
- •§5. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Фредгольма
- •§6. Решение линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом последовательных подстановок
- •§7. Уравнение Фредгольма как предел системы конечного числа линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные соотношения Фредгольма
- •§8. Доказательство сходимости рядов Фредгольма
- •§9. Решение интегрального уравнения, данное Фредгольмом при . Первая фундаментальная теорема Фредгольма
- •20…§10. Решение однородных интегральных уравнений. Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •И их вычисление
- •§12. Вычисление собственных значений и собственных функций по методу Келлога
- •§13. Сопряжённые однородные интегральные уравнения
- •§23. Перед тем, как перейти к исследованию неоднородного интегрального уравнения при , рассмотрим однородное интегральное уравнение
- •§15. Теорема Адамара
- •§16. Обзор других методов решения. Приближённые методы решения
- •§16. Задачи для самостоятельного решения
- •Примерный вариант тест-контрольной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Тест-контрольная по интегральным уравнениям Вольтерра
- •1 Вариант
- •9.Записать решение уравнения, если резольвента ядра известна
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант теста по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Ответы к тестам по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Блок1. Интегральные уравнения Вольтерра
§8. Доказательство сходимости рядов Фредгольма
С
помощью теоремы Адамара мы можем теперь
доказать сходимость рядов
и
.
а)
Сходимость
ряда
.
выражается рядом
(14)(8.1)
где
(15)
(8.2)
Ранее
мы предполагали, что
.
Тогда определитель, входящий в
,
удовлетворяет всем условиям теоремы
Адамара, поэтому
и, следовательно,
Покажем
теперь, что ряд с общим членом
сходится. Применяя известный критерий
сходимости по Даламберу, находим
Поэтому
ряд с общим членом
сходится, следовательно, ряд
сходится абсолютно при всех
.
Мы запишем этот результат в виде следующей
леммы:
Теорема 3. Степенной ряд абсолютно сходится при всех значениях параметра .
б)
Сходимость
ряда
.
Имеем
(16)(8.3)
где
(17)(8.4)
Формулу (8.3) иногда удобнее писать
где
мы полагаем
и
.
Определитель, входящий в
,
удовлетворяет всем условиям теоремы
Адамара, поэтому
,
откуда
Докажем
теперь, что ряд с общим членом
сходится.
Применяя тот же критерий сходимости,
что и в предыдущем случае, находим
Поэтому
ряд с общим членом
сходится, и, значит, ряд
абсолютно и равномерно
сходится при всех значениях
относительно
всех
и
,
находящихся в области
.
Таким образом, мы имеем следующую лемму:
Теорема
4. Ряд
абсолютно и равномерно сходится при
всех значениях параметра
в области
.
§9. Решение интегрального уравнения, данное Фредгольмом при . Первая фундаментальная теорема Фредгольма
Фундаментальные
соотношения Фредгольма, т.е. формулы
(7.10) и (7.11), позволят нам теперь получить
решение интегрального уравнения для
любых
.
.
(9.1)
Наведением на метод решения этого интегрального уравнения служит метод решения конечной системы линейных алгебраических уравнений
.
(9.3)
Как
известно, для нахождения
из этой системы уравнений каждое
уравнение умножают на
и затем все их складывают, т.е. суммируют
по
от 1 до
.
Тогда получается:
,
откуда
.
(9.4)
Но теперь, по определению (см. § 7, в),
,
и по формуле (6.7)
.
Это естественно наводит на мысль аналогичным образом поступить с нашим интегральным уравнением (9.1). Напишем его в форме
.
Предполагая,
что это уравнение удовлетворяется для
некоторой непрерывной функции
,
помножим обе его части на
и проинтегрируем затем по
в пределах от a
до
.
Тогда мы получим
.
(22)(9.5)
Подынтегральное
выражение в двойном интеграле непрерывно
относительно
и
,
поэтому мы можем переменить порядок
интегрирования и написать этот двойной
интеграл так
,
что по формуле (7.10) переходит в
.
Поэтому формулу (9.5) можно написать в виде
,
что согласно уравнению (9.1) приводится к
.
Разрешая
теперь это уравнение относительно
в предположении, что
,
мы получаем
.
(23)(9.6)
Таким
образом, если и есть непрерывная функция
от
,
удовлетворяющая уравнению (9.1), и если
,
то
выражается
формулой (9.6).
Нам остается показать, что и, обратно, функция , определяемая формулой (9.6), является решением уравнения (9.1). В этом можно убедиться простой подстановкой. Подставляя значение из формулы (9.6) в уравнение (9.1), получаем
.
Разбивая последний член на две части и меняя порядок интегрирования в двойном интеграле, находим
,
что, согласно формуле (7.11) может быть написано в виде
.
Но последнее уравнение, как в этом нетрудно убедиться, представляет собой на самом деле тождество. Следовательно, функция , выражаемая формулой (9.6), действительно удовлетворяет уравнению (9.1).
Таким образом, мы доказали следующую теорему, называемую первой фундаментальной теоремой Фредгольма.
Теорема
5. Если
,ядро
непрерывно в
,
функция
непрерывна в
,
то уравнение (9.1) имеет только одно
непрерывное решение, оно выражается
формулой (9.6), где
и
– степенные ряды, сходящиеся при всех
значениях параметра
,
а ряд
,
кроме того, сходится равномерно по
и
в области
.
Пример 5. Найти решение интегрального уравнения
вычислив
и
Решение.
Воспользуемся формулой (9.6),предварительно
вычислив по
формулам (8.2) и (8.4)
и
очевидно,
что и все последующие
Далее имеем
очевидно,
что и все последующие
По формулам
(8.1) и (8.3) вычисляем
и
и решение уравнения по формуле (9.6) запишется
В
частности, для
получим