Задача 3

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=( а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт У
	1	2	3
1	0,1	0,2	0,4	100
2	0,0	0,4	0,1	200
3	0,1	0,3	0,4	100

Решение:

1. Для того чтобы матрица коэффициентов прямых затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (Е-А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Проверим матрицу А на продуктивность, для чего найдем матрицу

где Е – единичная матрица третьего порядка.

Найдем главные миноры этой матрицы:

М₁=0,9>0

М₂=0,9*0,6-0,0*(-0,2)=0,54>0

М₃=0,9*0,6*0,6-0,002-0,024-0,027=0,271>0

Так как все главные миноры положительны, то матрица – продуктивна.

3. Находим неизвестные Х₁, Х₂, Х₃, решив систему уравнений:

0,9Х₁-0,2Х₂-0,4Х₃=100

0,6Х₂-0,1Х₃=200

-0,1Х₁-0,3Х₂+0,6Х₃=100

Решим систему с помощью метода Крамера, для чего найдем определители:

∆ =

∆₁=

∆₂=

∆₃=

Теперь по формулам Крамера находим:

Х₁= =

Х₂=

Х₃=

Распределение продукции между предприятиями холдинга на внутреннее потребление находим по формуле: Х_ij=a_ij*X_j (табл. 3.1).

0,1*394,83=39,48 0,2*405,90=81,18 0,4*435,42=174,17

0,0*394,83=0 0,4*405,90=162,36 0,1*435,42=43,54

0,1*394,83=39,48 0,3*405,90=121,77 0,4*435,42=174,17

Таблица 3.1

Производящие предприятия	Потребляющие предприятия			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	39,48	81,18	174,17	100	394,83
2	0	162,36	43,54	200	405,90
3	39,48	121,77	174,17	100	435,42
Итого	78,97	365,31	391,88	400	1236,16

Проверим решение в Excel:

1. В ячейки В2:D4 запишем элементы матрицы А. В ячейки В6:D8 запишем элементы матрицы Е-А. выделим диапазон В10:D12 для размещения обратной матрицы В=(Е-А)^-1 и введем формулу для вычислений МОБР (В6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов прямых материальных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (рис. 3.1)

Рис. 3.1. Матрица продуктивна

2. В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта У. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Х=(Е-А)^-1У, введем формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12, G10:G12). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Найдены значения валового выпуска

3. Межотраслевые поставки вычисляем по формуле Х_ij=a_ij*X_j (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Решение найдено

Вывод: На основании данных о величине межотраслевых потоков продукции и данных о конечных продукциях определены величины валовой продукции 394,83; 405,90; 435,42.