Федеральное агенство по образованию ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Контрольная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант - 7

Исполнитель: Смирнова Валерия Сергеевна

факультет: менеджмента и маркетинга

Специальность: менеджмент организации

личное дело:09ммб02617

Руководитель: Гусарова О. М

Смоленск

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Завод – производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей – X и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y – 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа Y – 40 ден. ед.?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи, приняв количество деталей типа Х за Х₁, типа Y – за Х₂, которые следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю.

Запись задачи в общем виде:

Целевая функция f (Х)=30Х₁+40Х₂→max

Ограничения Х₁+Х₂≤4000

Х₁≤2250

Х₂≤1750

2Х₁+5Х₂≤10000

5Х₁+2Х₂≤10000

Х₁≥600

Х₁+Х₂≥1500

Строим на плоскости Х₂ОХ₁ графики ограничивающих прямых:

Прямая Х₁+Х₂=4000 проходит через точки (0;2000) и (4000;0);

Прямая 2Х₁+5Х₂=10000 проходит через точки (0;2000) и (5000;0);

Прямая 5Х₁+2Х₂=10000 проходит через точки (0;5000) и (2000;0);

Прямая Х₁=2250 проходит через точку (2250;0) параллельно оси Х₂;

Прямая Х₂=1750 проходит через точку (0;1750) параллельно оси Х₁;

Прямая Х₁=600 проходит через точку (600;0) параллельно оси Х₂;

Прямая Х₁+Х₂=1500 проходит через точки (0;1500) и (1500;0).

График целевой функции

30Х₁+40Х₂=0

30Х₁=-40Х₂

1,33 -1

Прямая проходит через точки (0;0) и (1,33;-1).

Рис. 1.1. Графическое решение задачи 1

Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, образует область допустимых решений (ОДР) (рис. 1.1). Координаты любой точки, принадлежащей ОДР, являются допустимым решением задачи. Требуется переместить график целевой функции в определенном направлении до тех пор, пока у графика целевой функции и ОДР не останется одна общая точка. Для определения направления перемещения графика целевой функции рассчитываются координаты вектора Градиенко. Это параметры частной производной от самой целевой функции. Из теории линейного программирования известно, что вектор Градиенко перпендикулярен целевой функции. В нашем случае (при максимизации целевой функции) движение графика целевой функции будем осуществлять в направлении градиента. В крайней угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки решаем систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:

Искомый вектор, составляющий оптимальный план, найден. Его координаты – (1500;1250). При таком производственном плане максимальная прибыль предприятия: 30*1500+40*1250=95000.

При решении данной задачи на минимум целевой функции линию уровня следует двигать в направлении, обратном направлению вектора-градиента. Целевая функция достигает минимального значения в точке (1500;0). При таком производственном плане минимальная прибыль предприятия: 30*1500+40*0=45000.

Решим эту задачу, используя программу Excel.

Решение:

1. Обозначим через Х₁, Х₂ количество деталей каждого типа. Указываем адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения: А2:В2.

2. Вводим исходные данные (рис. 1.2).

Рис.1.2. Введены исходные данные

3. Вводим зависимость для целевой функции (рис.1.3).

Рис.1.3. Введены данные для функции СУММПРОИЗВ

4. Вводим зависимости для ограничений. Содержимое ячейки С3 скопируем в ячейки С4-С10 (рис. 1.4).

Рис.1.4. Введены зависимости для всех ограничений

5. Запускаем команду Поиск Решения (рис. 1.5).

Рис.1.5. Введены все условия задачи

6. Нажимаем кнопку Выполнить. В результате на экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 1.6).

Рис1.6. Решение найдено

Проверим решение данной задачи в Excel на минимум целевой функции.

1. Вводим условия задачи, запускаем команду Поиск Решения (рис.1.7).

Рис.1.7. Введены все условия задачи

2. Нажимаем кнопку Выполнить. Решение задачи найдено (рис. 1.8).

Рис.1.8. Решение найдено

Вывод: Оптимальный план предусматривает производство деталей типа Х – 1500 штук, типа Y – 1250 штук, что обеспечит предприятию получение максимальной прибыли на уровне 95000 ден. ед.

При решении данной задачи на минимум целевой функции прибыль предприятия: 30*1500+40*0=45000 ден.ед.