13. Система акс Вейля, повнота і несуперечливість.

Система акс Вейля 3-вимірн евкл простору склад з 4-ох груп аксіом, які визначають основні властивості точок векторів та вказаних відношень:

1. Акс векторн простору.

2. Акс розмірності.1) n лін незал векторів.

2) n+1 вектори є лін незал.

3.Акс скаляр добутку: 1)

2)

4)

4.Акс точок: 1) 2) .

Т: Система акс Вейля є несуперечливою за умови несуперечливості теорії дійсних чисел.

Дов. побуд модель, у якій вектори задаються дійсними матрицями 1*3, а точки дійсними матрицями 3*1. відношення визначатимуться так:

1) (a₁a₂a₃)+(b₁b₂b₃)=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)

₂₎

4) Покажемо що побуд модель задов систему акс Вейля (Залишається перевірити акс 4-ї групи) 1) Акс відкладання векторів: нехай дано Шукатимемо т. В,щоб . Припустимо, що, тоді АВ= (b1-a1;b2-a2lb3-a3) з рівності векторів АВ та р випливає, що b₁-a₁=p1, b₂-a₂=p₂, b₃-a₃=p_3, b₁=a₁+p_1, b₂=a₂+p_2, b₃=a₃+p₃ . отже, шукана точка існує і визначається однозначно.

2) Нехай дано 3 точки

Знайдемо вектори АВ=(b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃),

ВC=(c₁-b₁,c₂-b₂,c₃-b₃), Аc=(c₁-a₁,c₂-a₂,c₃-a₃). АВ+ВС=АС. Доведено.

Теорема: Система аксіом Вейля категорична. щоб викон умова ; тоді

b₁-a₁=p₁; b₂-a₂=p₂; b₃-a₃=p₃ 2)правило трикутника:

Знайдемо і обчислимо їхню суму (b₁-a₁,b₂-a₂,b₃-a₃)+(c₁-b₁,c₂-b₂,c₃-b₃)=(c₁-a₁,c₂-a₂,c₃-a₃)= Т:система акс Вейля є повною. Дов нех дано 2 моделі аксіоматики Вейля. Дост довести, що вони ізоморфні. Зафіксуємо в обох моделях по точці відповідно, і по ортонорм базисі (i,j,k), (i’,j’,k’). Таким чином в обох моделях буде визначено ДСК. В цих ДСК операції над векторами, точками визначаються однозначно, то моделі ізоморфні.

14. Акс. І площина Лобачевского. Наслідки.

5 постулат:Якщо 2-х пр при перетині січною утвор внутр одностор кути, сума яких менша 2d (d=90⁰) то ці пр перетинаються з того боку від січної з якого сума кутів <2d. Аксіома Лоб: через т. поза даної пр можна провести хоча б 2 пр., які не перетинають задану пряму.

Наслідок: Через т. поза даною пр. можна провести беьзліч пр., які не перет заданої.

Т:кут // визначається лише відстанню від т. до прямої. Ф-ція: позначимо через відстань від т. до пр., -відпов кут //. Тоді - ф-ція Лобачевского. Вигляд ф-ції П: -const; м-на значень ф-ції

;П(х)-спадаюча. Модель Келі-Клейна: Нех Р₂-проект пл., - овальна лінія – абсолют. - внутрішність лінії що наз пл. Лобачевского. Точками на пл. Лоб будуть ті проект т. які містяться в середині абсолюта, прямими–ті частини проект пр які , т.т хорди абсолюта без кінців. Віднош належності точок і прямих на пл. Лоб визначається як належність проект т. відповідній частині (хорді) проект пр. Очевидно т. які прямій і які пр . пара точок визначає проект пр., відповідно і хорду. Поняття довжини відрізка і величини кута ввод за допом складного відношення. Наприкл., т.А та В тоді , де r – деяке фіксоване додатнє число.