2) Дистрибутивність. Дов.

.

Аналогічно

.3) однорідність;

4) .

Теорема: Нехай в ортонормованому базисі відомі координати векторів а(а₁,а₂,а₃), b(b₁,b₂,b₃), тоді векторний добуток матиме такі координати: . Дов: для дов необхідно переконатися, що визначена формула задає вектор, що задовольняє означення векторного добутку. Для перевірки перпенд скористаємося скалярним добутком. = a₁a₂b₃-a₁a₃b₂+a₂a₃b₁-a₂a₁b₃+a₃a₁b₂-a₃a₂b₁=0. аналогічно , що й треба було довести.

Застосування: паралелограм, побудований на не колінеарних а і в: площа паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного добутку векторів, на яких цей парал побудовано.

О.: мішаним доб векторів наз скаляр,який = скалярному доб вект і вектора . . Властивості: 1) ;

2)

3)

4.Площина в просторі.

Способи задання: 1) Нех. у просторі заф. АСК. Зайдемо р-ня пл. що прох. Через т. до век. і ці век. неколінеарні – напрямні век. пл. . т . компланарні

2)Дві точки і век. 3)Три точки:

4) – вектор нормалі, т.

Заг. Р-ня площини

Т. Будь-яка площ. Є поверхнею І І порядку і навпаки будь-яка поверхня 1-го порядку є площиною.

ДОВ. 1) необх. Нех -пл. Визначимо її т. , що не лежать на 1 прямій. Тоді задається р-ням

де . Покажемо, що рівняння є рівнянням 1-го степеня, тобто що не всі коеф = 0.якби всі коеф = 0, то рядки відповідних визначників пропорц, тобто , але в цьому випадку точки м1, м2, м3 лежатимуть на 1 прямій. Суперечність.

2) Достат. -пов. І пор. Пок. що площ. Нех. зад. т.

Взаємне розміщення: нехай дано 2 пл: . Для знаходження взаємного розм. Складаємо систему рівнянь і досліджуємо її за доп теореми Кронекера-Капеллі. r – ранг основної матриці системи, R – ранг розширеної. 1) r=R=2 с-ма сумісна, але р-ня нерівносильні, отже, площини перетинаються. 2) r=R=1 с-ма сумісна, але р-ня рівносильні, площини збігаються. 3) r=1 R=2 с-ма сумісна, пл. не перетинаються, тобто паралельні.

Метричні задачі: 1. відстань від т до площини

2. кут між 2 площинами.

5. Пряма в просторі. Способи задання:

1. Точкою і напрямним вектором:т.

2. Дві точки:

3. Парою площин:

Нех. у просторі дано 2 пр. ,які прох. Через т. відповідно і мають напрямні век. . Розглянемо 3 вектори - некомпланарні коли містяться в 1 площині, тт. пр. містяться в 1 пл., отже прямі не мимобіжні. Залишається проаналіз. випадок компланарності век. Тоді прямі містяться в одній площині і подальший аналіз зводиться до дослідження взаємного розміщення 2 прямих на площині: 1) не парал. - прямі перетинаються;

2) :а) ; б) не парал. .

Метричні задачі: 1. Відстань від т. до пр. Дано пр. , що прох. через т. . Знайдемо .Розглян. парал-м побуд. На вект. і обчисл. його площу двома спос:

1) ; 2) .Звідси

.2. Відстань між мимоб. прямими .3. Кут між пр. і площ. n – вектор нормалі до площини