Оценка статистической значимости уравнения регрессии его параметров.

В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.

Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.

- фактическая цена

- теоретическая цена

Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.

Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.

Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.

Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:

Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.

Общая , п- число единиц в изучаемой совокупности

Фактическая , п- число факторов, включенных в анализ

Остаточная

F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.

Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.

Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.

F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.

После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.

Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.

Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и

Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .

В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:

Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.

Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.

В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.

Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R² должен быть > 0,5.

При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R²). Величина R² (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R² и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.

- скорректированный коэф-т детерминации

п –объем совокупности/число наблюдений

k – число факторов включенных в анализ

п-1 – число степеней свободы

(1-R²) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака

всегда меньше R² . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.