Плотность распределения

            Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток.  По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.

 

            Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

            Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

            Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

            После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.

 

            Определение.  Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределенияF(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.

 

            Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

 

            Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

 

            Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b.

 Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если   является плотностью вероятности   и   почти всюду относительно меры Лебега, то и функция  также является плотностью вероятности  .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если   — неотрицательная п.в. функция, такая что  , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера   на   такая, что  является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где   любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры  .

[править]Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство  , и   случайная величина (или случайный вектор).   индуцирует вероятностную меру   на  , называемую распределением случайной величины  .

Определение 3. Если распределение   абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность   называется плотностью случайной величины  . Сама случайная величина   называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.