10. Третя теорема двоїстості. Її економічний зміст. Поняття цінності ресурсу, та його використання в економічному аналізі задач.

Третья теорема двойственности:

Компоненты оптимального решения в двойственной задаче являются значениями частной производной от по запасам ресурса.

Экономический смысл состоит в том, что оценки определяют вклад каждого ресурса в доход .

Ценность – экономическая характеристика, которая показывает насколько изменится целевая функция при изменении запаса ресурса на 1.

Ценность характеризует важность данного ресурса относительно данного производственного процесса.

В экономическом анализе задач мы используем ценность ресурса для определения его класс(дефицитный или недефицитный). А это в свою очередь нам нужно для определения того, запас какого ресурса нам нужно увеличивать, а какого уменьшать.

Ценности недефицитных ресурсов равны 0, т.к. увеличение их запасов не имеет смысла, а дефицитных - больше 0.

Т.к. ограничения двойственной задачи являются оценками затрат на производство той или иной продукции, то подставив в них уже известные ценности и подсчитав оценку затрат, а затем сравнив с ценой продукта, мы можем узнать выгодно ли нам производство того или иного продукта.

Также зная ценности ресурса можно определить насколько и какого ресурса нужно уменьшить использование для рентабельности данного продукта.

11. Транспортна модель.

Транспортными моделями называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданые пункты потребления

1. Постановка транспортной задачи.

Пусть некоторый однородный продукт нужно перевести от известных поставщиков к заданным потребителям.

Поставщики

Запас продукции каждого поставщика

Потребители

Заявки на продукцию

Нам известны стоимости перевозки единицы груза от каждого i поставщика каждому j потребителю.

Требуется найти такой план перевозки груза, при котором учитываются все запасы, удовлетворяются все потребности в грузе и минимизируются суммарные транспортные расходы.

Условие транспортной задачи можно представить в виде транспортной таблицы.

Таблица.

Построим математическую модель задачи:

1. Переменные

- количество груза, перевозимого от i поставщика к j потребителю – общее число переменных равно (m x n)

2. Целевая функция

минимизация суммарных транспортных расходов

3. Ограничения

а) на запас:

б) на потребности:

Перевозка каждому потребителю должна быть не меньше его заявки.

Общее число ограничений n+m

4)

Данная модель относится к классу задач линейного программирования, но имеет особенности:

1. В ограничениях все коэффициенты при переменных равны 1

2. Каждая переменная входит только в 2 ограничения.

Эти особенности позволяют построить для решения транспортной задачи более удобный алгоритм, чем симплекс-метод.

Модели транспортных задач могут быть открытые и закрытые.

Транспортная задача закрытая (сбалансированная) если суммарный запас равен суммарным потребностям.

В закрытой задаче все ограничения равенства.

Закрытая транспортная задача – аналог канонической формы ЗЛП, поэтому перед началом решения задачи надо проверить условие сбалансированности, и если надо преобразовать модель к закрытому виду.

Это осуществляется введением дополнительных фиктивных пункта отправления (если запас меньше потребностей) либо фиктивного пункта потребления (если запас больше потребностей).

Решения ТЗ.

Решение ТЗ осуществляется по общему принципу последовательного улучшения опорных планов. Процесс решения состоит из этапов:

1. Определение начального опорного решения.

2. Оценка этого решения и проверка его оптимальности.

3. В случае необходимости переход к новому лучшему опорному плану путем однократного замещения 1 базисной переменной.

Опорный план ТЗ – матрица перевозок размера mxn в которой число базисных переменных должно быть равно числу линейно-независимых переменных(m+n-1)

Для построения начальных опорных планов можно использовать 1 из методов:

1. метод северо-западного угла

2. метод минимального элемента

3. метод двойного предпочтения

4. метод аппроксимации Фогеля

Проверка оптимальности построенного плана и его оптимизация реализуется с помощью вычислительных процедур метода потенциала.

Алгоритм:

1. Строим систему потенциалов

- пункты отправления

- пункты назначения

Используя равенство

- занятые (базисные) клетки

2. Проверяем условие оптимальности

- для свободных клеток

Если оно выполняется, то получен оптимальный план перевозок и вычисляем его стоимость.

Если среди найдется положительная оценка, то переходим к новому опорному плану.

3. Переход к новому опорному плану.

а) Выбираем клетку с максимальной положительной оценкой .

б) Начиная с выбранной клетки строится замкнутый цикл перераспределения груза.

Цикл представляется замкнутой ломанной только с вертикальными и горизонтальными звеньями, вершины которых проходят по базисным клеткам. Затем вершины обозначаем знаками + и – начиная с первой как +.

Цикл всегда единственен.

в) Определяем величину перерасчета груза

г) Перераспределяем груз по циклу:

в клетку (+) прибавляем, из клетки (-) вычитаем.

Базисные вершины невошедшие в цикл переписываем без изменения.

В новом плане будет одна новая базисная вершина, поэтому 1 клетку нужно освободить.

4. Новый опорный план проверяем на оптимальность. Переходим к пункту 1.

В постановке транспортных задач кроме стандартных ограничений на запасы и потребности могут быть учтены и другие дополнительные условия.

1. Если из некоторого пункта отправления перевозки не могут быть перевезены в некоторый пункт назначения.

Для решения используется метод блокировки перевозок:

тариф по заданному маршруту заменяют большим значением М. Это гарантирует, что перевозка в этой клетке будет равна 0.

2. По заданному маршруту нужно перевести строго определенное количество груза.

В транспортной таблице вносят поправки:

1) в нужную клетку ставится фиксированная , при этом делаются поправки в столбце и и строке.

2) Заданная клетка блокируется большим тарифом М.

3. По заданному маршруту надо перевести не меньше заданного количества груза.

В транспортной таблице вносятся поправки:

В нужную клетку вносится фиксированный и делается поправка в строке и столбце.

4. По заданному маршруту может быть перевезено не больше заданного числа груза:

Транспортная таблица корректируется так:

Столбец потребителя заменяем двумя, затем в 1 столбец ставим потребность , а во второй и тариф заменяем на М.