6) Двоїстість у лінійному програмуванні. Структура та властивості двоїстих задач.
С каждой задачей
лин.программирования связана др.
лин.задача, называемая двойственной.
Взаимосвязь прямой и двойственной задач
заключается в том, что решение одной
задачи может быть получено из решения
другой. Кроме того, рассмотрение
двойственных задач играет большую роль
в эк.анализе моделей. Построение
двойственных задач.
Первоначальная задача – распределение
ограниченной продукции. Пусть фирма
имеет m видов ресурсов S1, S2, S3 … Sm, которые
имеются в запасе b1, b2 … bm соответственно.
Фирма производит n видов продукции Х1,
Х2 … Хn, известны цены реализации единицы
каждого изделия С1, С2 … Сn. Также известны
нормы затрат ресурсов на производство
каждой продукции. Они задаются
технологической матрицей,
где
aij – затраты i-го ресурса на производство
j-продукции. Требуется составить план
выпуска продукции, максимизирующей
доход от реализации изделий. Построим
мат.модель этой задачи: 1. Xi – объём
производства i-продукции, i = 1, 2 … n.
2. Z = C1X1 + C2X2 + … +
CnXn
max
– максимизация дохода.
3. Ограничения на запасы ресурсов:
a
11X1
+ a12X2
+ … +a1nXn
<= b1;
a21X1 + a22X2 + … +a2nXn <= b2;
…
am1X1 + am2X2 + … +amnXn <= bm.
X1, X2 … Xn >= 0.
Решением данной модели будет оптимальный план выпуска продукции X*=(X1*, X2*…Xn*), который обеспечивает доход.
Двойственную задачу получим из следующих соображений: предположим, что при определённых условиях ресурсы выгодно продать, поэтому нужно определить оптимальные цены ресурсов. Строим мат.модель данной задачи:
1. Yi – оценка стоимости i-ресурса, i=1, 2…m.
2. ЦФ определяет интересы покупателя. Стоимость всех ресурсов должна быть минимальной. F=b1Y1 + b2Y2 + … + bmYm min.
3. Ограничения составляются исходя из интересов продавца. С точки зрения продающей стороны выручка, полученная от продажи ресурсов должна быть не меньше той суммы, которую фирма может получить при переработке имеющихся ресурсов в готовую продукцию и её реализацию. Составляются ограничения по каждому изделию:
a 11Y1 + a21Y2 + … +am1Ym <= C1;
a12Y1 + a22Y2 + … +am2Ym <= C2;
…
a1nY1 + a2nY2 + … +amnYm <= Cn.
Y1, Y2 … Ym >= 0.
Решением данной модели будут оптимальные стоимости всех ресурсов Y*=(Y1*, Y2*…Ym*). Построенная пара задач является парой двойственных задач. Если проанализировать их модели, то можно выявить следующие закономерности: 1) Если ЦФ исходной задачи направлена на max, то двойственной – на min, и наоборот; 2) Коэффициенты ЦФ исходной задачи становятся правыми частями ограничений двойственной, и наоборот; 3) Число переменных исходной задачи равно числу ограничений двойственной, и наоборот число ограничений исходной равно количеству переменных в двойственной; 4) Матрица ограничений двойственной задачи получается транспонированием исходной матрицы ограничений.
Кроме этих общих закономерностей существуют ещё такие правила построения двойственных задач: 1) Перед построением двойственной задачи модель исходной упорядочивается, т.е.: max(<=,=); min(>=,=). 2) Каждой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной. Если на i-переменную исходной задачи наложено условие неотрицательности, то соответствующее ограничение двойственной модели будет неравенством, в противном случае равенством. 3) Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной. Если j-ограничение исходной модели – неравенство, то на j-переменную двойственной задачи будет накладываться условие неотрицательности. В противном случае – не будет.