2.9. Типові завдання
1. Для даної функції
знайти верхню та нижню суми Дарбу на
відрізку
,
розділяючи його на
рівних частин та знайти їх границі при
.
2. Знайти значення інтегралу.
3. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій.
4. Обчислити довжину дуги кривої
5. Обчислити об’єм
тіла, утвореного обертанням навколо
вісі (
,
)
фігури, обмеженої графіками функцій.
ВАРІАНТ 1
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
,
,
б)
(довжина петлі)
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 2
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
.
4. а)
,
,
(клотоїда) б)
5.
,
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 3
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
.
4. а)
,
,
б)
(довжина петлі)
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 4
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
,
,
де
і
– точки максимуму функції.
4. а)
,
,
,
б)
,
5.
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 5
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
,
б)
,
5.
,
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 6
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
,
.
4. а)
,
,
(трактриса).
б)
,
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 7
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
,
.
4. а)
,
,
б)
,
.
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 8
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
(довжина петлі)
б) Знайти
довжину дуги кардіоїди
,
яка знаходиться всередині кола
.
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 9
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
(довжина петлі)
б) Знайти
довжину дуги логарифмічної спіралі
,
яка знаходиться всередині кола
,
(
).
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 10
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
,
.
4. а)
,
,
,
(еволюта еліпса)
б) Знайти
довжину дуги спіралі Архімеда
,
яка знаходиться всередині кола
.
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 11
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
.
4. а)
,
(довжина петлі) б)
5.
,
,
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 12
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
,
,
.
4. а)
,
,
(евольвента кругу)
б)
,
,
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 13
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
(довжина петлі) б)
5.
,
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 14
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
б)
5.
,
.
Знайти
.
ВАРІАНТ 15
1.
,
,
.
2. а)
б)
в)
г)
д)
3.
,
,
.
4. а)
,
(
) б)
5. , . Знайти .
Список літератури
Справочное пособие по математическому анализу. Ч.I. Введение в анализ, производная, интеграл /И.И. Ляшко, А.К. Боярчук и др.– Киев: Вища школа, 1978. – 632с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.: Наука, 1970.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Cборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды.: Учебное пособие для вузов / Под ред. А.Д. Кудрявцева. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 528с.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973. – 370с.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1979. – 410с.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990. – 624с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985. – 383с.