- •2.1.2. Нижня та верхня інтегральні суми Дарбу
- •2.1.3. Критерій інтегровності
- •2. Обчислити, виходячи з означення, інтеграл
- •2.1.4. Властивості інтегралу
- •2.1.5. Формула Ньютона-Лейбніца
- •2.2. Формула заміни змінної
- •2.3. Інтегрування по частинам
- •2.4. Обчислення площ плоских фігур
- •2.5. Обчислення довжин кривих
- •2.6. Обчислення об’ємів тіл
- •2.7. Обчислення площ поверхонь
- •2.8. Застосування означених інтегралів до питань механіки, фізики, техніки
- •2.9. Типові завдання
- •Список літератури
2.3. Інтегрування по частинам
Якщо функції та неперервні разом зі своїми похідними на , то
(2.8)
Цю формулу називають формулою інтегрування по частинам. Вона залишається справедливою і для випадку, якщо замість неперервності похідних і вимагається лише інтегровність.
1. Знайти інтеграл Оскільки то
2. Знайти інтеграл
Знайшовши з одержаного рівняння значення , одержимо
3. Обчислити Проводячи інтегрування по частинам маємо звідки За допомогою знайденої рекурентної формули можливо одержати остаточний результат для будь-якого натурального .
Нехай тоді оскільки
Нехай тоді оскільки
Таким чином, (2.9)
Зауважимо, що формула справедлива і для
В деяких випадках доцільно комбінувати метод заміни змінної з методом інтегрування по частинам.
4. Знайти інтеграл . Застосовуючи формулу (2.8) , одержимо інтеграл Зробивши в ньому заміну одержимо інтеграл . Наведемо відповідь:
2.4. Обчислення площ плоских фігур
Н ехай функція неперервна і невід’ємна на сегменті . Площа фігури (мал. 2.1), обмеженої графіком функції відрізком осі і відповідними відрізками прямих та дорівнює
(2.10)
Фігуру називають криволінійною трапецією.
Функція може бути задана параметричними рівняннями , де функція має неперервну невід’ємну похідну на , а функція неперервна і невід’ємна на , тоді площа фігури обчислюється по формулі: (2.11)
Н ехай задана функція , де неперервна і невід’ємна на . Площа сектора (мал. 2.2), обмеженого графіком функції в полярних координатах і відповідними відрізками променів і , обчислюється за формулою:
(2.12)
Знайти площі фігур, обмежених кривими.
1. Побудуємо криві, які обмежують фігуру (мал. 2.3). Знайдемо абсцису точки перетину тангенсоїди і косинусоїди: Звідси маємо рівняння Оскільки одержимо Враховуючи, що , маємо ,
(кв. од.)
2 .
П обудуємо криві, які обмежують фігуру (мал. 2.4). Розв’язавши систему рівнянь знайдемо точки перетину параболи та прямої: (0;-1) і (4;3). . Враховуючи, що фігура симетрична відносно осі ОХ, її площу знайдемо як . Площу фігури знайдемо як Тут враховано, що довільна пряма, проведена знизу вгору паралельно осі має точку входу на прямій а точку виходу – на додатній гілці параболи Маємо:
(кв.од.)
3.
Для побудови кривої, яка обмежує фігуру , приймемо до уваги, що звідки Тоді звідки Точки перетину кривої (а вона симетрична відносно осі ) знайдемо з умови . Маємо Врахуємо, що отже, Спочатку крива попаде в точку (0;0), потім у точку і, утворивши п етлю, знову в точку (0;0) – точку саме перетину кривої. Оскільки то в початковій точці (0;0) в кінцевій точці половини петлі (мал.2.5) По формулі (2.11):
4.
П ерейдемо до полярних координат і , поклавши Рівняння кривої буде мати вигляд , звідки (крива двічі виходить і виходить в полюс) і Оскільки (маємо на увазі ), то звідки З умови зрозуміло, що отже, крива розміщена в І і ІІІ чвертях симетрично і відносно початку координат, і відносно бісектриси Зауважимо, що найбільше значення буде мати при Враховуючи сказане, будуємо дану криву (мал. 2.6). Площу фігури знайдемо по формулі (2.12):