- •2 Страница
- •1.2. Заміна змінної при інтегруванні
- •1.3. Інтегрування по частинам
- •1.4. Інтегрування раціональних дробів
- •1.5. Інтегрування ірраціональних функцій
- •1.5.1. Інтеграл виду
- •1.5.2. Інтеграл виду
- •1.5.3. Інтеграли виду
- •1.5.4. Інтеграл виду
- •1.6. Інтегрування трансцендентних функцій
- •1.6.1. Інтеграли виду
- •1.6.2. Інтеграли виду
- •1.6.3. Інтеграли виду
- •1.6.4. Інтеграли виду
- •1.6.5. Інтеграли виду
- •1.6.6. Інтеграли від трансцендентних функцій
- •1.7. Типові завдання
- •2. Означений інтеграл
- •2.1. Означений інтеграл як границя суми
- •2.1.1. Інтеграл Рімана
1.5.4. Інтеграл виду
(1.13)
де многочлен степеня як правило, не виражаються через елементарні функції і в цьому випадку при і називаються еліптичними, а при гіпереліптичними. В цьому випадку, коли інтеграл (1.13) при і є елементарною функцією, він називається псевдоеліптичним. Кожний еліптичний інтеграл може бути виражений через елементарні функції і через стандартні еліптичні інтеграли:
(1.14) (1.15)
(1.16)
Заміною ці інтеграли зводяться до лінійних комбінацій інтегралів:
(1.17) (1.18)
(1.19)
які називають відповідно еліптичними інтегралами першого, другого, третього роду в формі Лежандра.
Через та позначимо відповідно ту з первісних (1.17) і (1.18), яка при перетворюється в нуль.
1.
2.
, де
1.6. Інтегрування трансцендентних функцій
1.6.1. Інтеграли виду
(1.20)
де раціональна функція змінних і завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки (її називають універсальною тригонометричною підстановкою)
(1.21)
Ця підстановка перетворює інтеграл (1.20) до виду: (1.22)
Помітимо, що підстановка (1.21) часто призводить до громіздких викладок, тому її використовують тоді, коли не знайдено інших шляхів інтегрування.
1.
Якщо підінтегральна функція має одну із властивостей:
1)
2)
3)
то для обчислення інтегралу зручно використовувати відповідні підстановки:
1) 2) 3)
2. Тут тому, поклавши
В деяких випадках обчислення інтегралу (1.20) досягається застосуванням інших прийомів.
3.
4. Скористаємося тотожністю .
.
1.6.2. Інтеграли виду
(1.23)
де раціональна функція зміних і , завжди можна звести до інтегралів від раціональних функцій з допомогою підстановки Іноді зручно використовувати підстановки
5. .
6. Представимо чисельник підінтегральної функції у вигляді лінійної комбінації знаменника і похідної знаменника: . Для і одержимо систему рівнянь: звідки
1.6.3. Інтеграли виду
(1.24)
підстановками або і відповідно або завжди можна звести до інтегралів від диференціального бінома.
7. . Покладемо тоді
8. Часто рекомендують в цьому випадку зробити підстановку . Доцільно понизити степінь косинуса:
Зауважимо, що при досить великих зручно застосовувати формули зниження (які одержують інтегруванням по частинам):
9.
1.6.4. Інтеграли виду
(1.25)
обчислюються після перетворення добутку тригонометричних функцій в алгебраїчну суму за допомогою відомих формул тригонометрії:
10. .
Тоді
1.6.5. Інтеграли виду
(1.27)
де многочлен степеня а одна з наступних функцій: обчислюються за допомогою багатократного інтегрування по частинам. Методами інтегрування по частинам і заміни змінної інтегруються і інші трансцендентні функції (див. підр. 1.2, 1.3).
11.
12. . Рахуючи інтеграл двічі по частинам,
Зауважимо, що має місце формула Ейлера:
яку можна використати для контролю при обчисленні відповідних інтегралів.
13. Нехай , Інтегруючи раціональний дріб (див. підрозд. 1.4) та повертаючись до змінної , одержимо Форма відповіді підказує, що даний інтеграл можна було б звести до інтегралу Дійсно,
14. . Будемо шукати відповідь у вигляді:
(обидва многочлени беремо другого степеня, хоча коефіцієнт при многочлен першого степеня). Після диференціювання одержуємо:
Одержимо і