1.2. Заміна змінної при інтегруванні

Нехай на деякому проміжку визначена складна функція і функція неперервна на цьому проміжку. Тоді:

(1.2)

Формулу (1.2) називають формулою заміни змінної при інтегруванні.

1. .

Вибір конкретної заміни “підказується” властивістю інтегралу.

2. , або, повертаючись до змінної , маємо

3. . Розділивши чисельник та знаменник функції на , маємо Ці перетворення підказують наступну заміну: . Тоді:

4. Представимо підінтегральну функцію у вигляді лінійної комбінації двох раціональних дробів так, щоб чисельник першого дробу був похідною квадратного тричлена , а чисельник другого дробу  одиниця:

Тоді одержимо:

5. , . Застосуємо підстановку . При цьому , . Тоді , і (Зауважимо, що оскільки для , то арифметичне значення кореня дорівнює ); беручи інтеграл, одержуємо . З рівності , , Остаточно маємо Значення цього інтегралу наведено в таблиці основних інтегралів.

6. Обчислимо даний інтеграл кількома способами:

а) Нехай Маємо

Враховуючи, що а одержуємо

б) Нехай отже,

в) Покладемо тоді причому маємо Враховуючи, що розв’язуючи рівняння відносно - параметр) та відкинувши , маємо . Формально одержимо іншу відповідь порівняно з рішенням у пп. “а”, “б”, але можна одержати ту ж саму відповідь, якщо враховувати, що

Помітимо, що якщо первісна існує, то при різних підстановках відрізняється лише сталою. Цей інтеграл можна обчислити за допомогою інших підстановок ( ). Це свідчить про творчий процес інтегрування.

1.3. Інтегрування по частинам

Цей метод опирається на рівність

(1.3)

яку називають формулою інтегрування по частинам.

Застосування формули (1.3) доцільно у тих випадках, коли підінтегральний вираз вдається представити у вигляді добутку двох множників і таким чином, щоб інтегрування виразів та стало задачею більш простою, ніж інтегрування початкового виразу.

По відомому диференціалу функція визначається неоднозначною, але у формулі (1.3) за може бути вибрана будь-яка функція, що має диференціал (тобто довільну сталу при знаходженні випускають).

Іноді для обчислення інтегралу формулу інтегрування по частинам доводиться застосовувати декілька разів (приклад 4).

1. .

2.

Остаточно маємо

3.

.

Таким чином

4.

Таким чином

5. Шляхом інтегрування по частинам можна одержати рекурентну формулу для обчислення інтегралу:

(1.4)

По формулі (1.4) зводиться до (будемо писати ),

6. . В цьому випадку прийшлося б п’ять разів інтегрувати по частинам, кожного разу вибираючи многочлен за . Простіше скористатися формулою ( – многочлен):

В нашому випадку

1.4. Інтегрування раціональних дробів

Нагадаємо, що раціональний дріб називається правильним, якщо степені многочленів і задовольняють нерівність . З курсу алгебри відомо, що всякий правильний дріб можна подати єдиним способом у вигляді суми елементарних раціональних дробів: . Тому інтегрування раціональних дробів зводиться до розкладу раціональної функції на елементарні дроби та до інтегрування елементарних дробів та многочленів. Інтегрування елементарних дробів провадиться таким чином:

1)

2)

3)

+

4)

, .

Останній інтеграл підстановкою зводиться до інтегралу (1.4).

1. . Поділивши многочлен на многочлен , одержимо частку та залишок . Отже, Але многочлен має дійсні корені першої кратності Тому розклад на елементарні дроби має вигляд З рівності дробів випливає рівність многочленів

: , тобто

: , тобто

: , тобто

Таким чином, ,

2. Знаменник має дійсний корінь другої кратності, дійсний корінь першої кратності та комплексні корені першої кратності. Тому розклад підінтегральної функції на елементарні дроби має вигляд Зауважимо, що кількість неозначених коефіцієнтів співпадає з найбільшим показником степеня змінної в знаменнику правильного раціонального дробу. З рівності дробів випливає рівність многочленів:

:

:

:

Прирівнюючи дійсні та уявні частини, одержуємо звідки

Для знаходження коефіцієнта скористаємося методом неозначених коефіцієнтів (МНК), прирівнюючи коефіцієнти при в обох частинах тотожності: : . Звідки тобто Таким чином: ,

3. Зробимо попередньо заміну: тоді . Користуючись схемою Горнера, розкладемо многочлен, що стоїть у чисельнику, за степенями :

.

Враховуючи, що маємо Розкладемо підінтегральну функцію на елементарні дроби:

Маємо

: ,

: ,

: , ,

: ,

: , ,

: .

Підінтегральна функція може бути представлена у вигляді:

,

Але

Тому

З формул 1) – 4) підроздіду 1.4 випливає, що інтеграл від елементарного дробу виражається через раціональні функції, логарифми та арктангенси. Тому неозначений інтеграл від будь-якої раціональної функції на всякому проміжку, який належить її області визначення, являється елементарною функцією, яка може бути представлена у вигляді алгебраїчної суми композицій раціональних функцій, логарифмів та арктангенсів.

4. Якщо формально дотримуватися теорії, то треба знайти корені знаменника та, крім того, знайти 10 неозначених коефіцієнтів. З другого боку, квадрат знаменника наштовхує на думку про те, що знаменник первісної дорівнює що стосується чисельника первісної, то він може мати вигляд тільки у іншому випадку степінь чисельника підінтегральної функції був би більше 5. Отже, будемо шукати інтеграл виду . Повинна бути рівність або Порівнюючи коефіцієнти при степенях , одержимо Остаточно маємо