10.Система лінійних рівнянь та її розв’язок. Означення несумісної, означеної, неозначеної, однорідної систем лінійних рівнянь.

Системою лінійних рівнянь з n- невідомими х₁, х₂, х₃ називається системою виду:

{ а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂+а_n x_n=b₁

{ а₂₁ х₁₊ а₂₂ х₂₊ а_2n х_n= b₂

{ а₃₁ х_{1 +} а₃₂ х_{2 +} а_3n x_{n =} b₃

{ a_m1 х₁ + a_mn х_{2 +} a_mn x_{y =} b_m

Де, а_іу- коефіцієнти, b_і – вільні члени.

Система лінійних рівнянь називається несумісною, якщо не має розв’язків.

Система лінійних рівнянь називається означеною, якщо має рівно один розв’язок , і не означеною якщо має більше ніж 1 розв’язок.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени нулі.

11.Формули Крамера.

Метод Крамера полягає в тому, що ми послідовно знаходимо головний визначник системи тобто визначник матриці А

дельта = det (ai j)

і n допоміжних визначників дельта i (i =), які виходять з визначника дельта заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.

Формули Крамера мають вигляд:

дельта × x i = дельта i (i =). (5.4)

слід правило Крамера, яке дає вичерпну відповідь на питання про спільності системи, якщо головний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:

x i = дельта i / дельта.

Якщо головний визначник системи дельта і всі допоміжні визначники дельта i = 0 (i =), то система має незліченну безліч рішень. Якщо головний визначник системи дельта = 0, а хоча б один допоміжний визначник відмінний від нуля, то система несовместна

13. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса.

Системою лінійних рівнянь з n невідомими х₁ х₂ х₃…n_n називають система виду:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + a _1n x _n = b _1;  a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + a _2n x _n = b _2;  ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...  a _{m 1} x ₁ + a _m 2 x ₂ + ... + a _mn x _n = b _m; 

де х _1, х _2, ..., х _n - невідомі, значення яких підлягають знаходженню. Як видно зі структури системи, в загальному випадку число невідомих не обов'язково має дорівнювати числу рівнянь самої системи. Числа а _11, а _12, ..., а _mn називаються коефіцієнтами системи, а b _1, b _2, ..., b _m - її вільними членами. Для зручності коефіцієнти системи а _ij (i = 1, 2 ,..., m; j = 1, 2 ,..., n) та вільні члени b _i (i = 1, 2 ,..., m) забезпечені індексами. Перший індекс коефіцієнтів а _ij відповідає номеру рівняння, а другий індекс - номеру невідомої х _i, при якій коефіцієнт поставлений. Індекс вільного члена b _i відповідає номеру рівняння, у яке входить b _i. 

Система лінійних рівнянь назив:

1. Нульовою, якщо всі коефіцієнти і вільні члени – нулі.

2. Однорідною, якщо всі члени – 0.

3. Неоднорідні, якщо існує хоча б одне з вільних членів відмінні від 0 (bi не = 0)

Розв’язком системи рівнянь назив. такий впорядкований набір чисел (альфа 1, альфа 2…) при підстановці яких замість невідомих, всі рівняння перетвор. в тотожності.

Система лінійних рівнянь назив:

• Сумісною, якщо б має хоча б 1 розв’язок;

• Не сумісною, якщо не має розв’язків;

• Означеною, якщо має рівно 1 розв’язок;

• Якщо має більш ніж 1 розв’язок.

Ефективним методом розв’язання і дослідження системи лінійних рівнянь є метод виключення невідомих – метод Гауса.

Він полягає в тому, що дана система лінійних рівнянь перетвор в рівносильну їй сис-му спец виду (трикутного), яка легко досліджується і розв’язується.

Для перетворення даної сис-ми лінійних рівнянь до спец виду, її піддають перетворенням:

• Додавання до обох частин 1 рівняння системи відповідних частин іншого рівняння тієї ж системи, помножених на деяке число.

• Перестановка місцями рівнянь у системі.

• Видалення із системи рівнянь виду 0=0.

Перетворення викон над розширеною матрицею системи так, щоб зліва була одинична матриця, тоді справа буде матриця невідомих.