- •Матриця. Розмірність матриці. Різновиди матриць. Встановити розмірність наступних матриць:
- •2.Які елементи утворюють головну та побічну діагональ матриці? Для наступних матриць визначити елементи:
- •3. Як помножити матрицю на дійсне число? додавання матриць.
- •4.Які матриці можна множити? Як знайти добуток матриць? Чи має добуток матриць властивість комунікативності?
- •5. Протилежна, транспонована та вироджена матриці.
- •6.Які матриці мають визначник? Правила обчислення визначників другого та третього порядків.
- •7.Мінор та алгебраїчне доповнення елемента матриці.
- •8. Яка матриця має собі обернену? Як знаходять та позначають обернену матрицю до матриці а ?
- •9. Властивості визначників.
- •10.Система лінійних рівнянь та її розв’язок. Означення несумісної, означеної, неозначеної, однорідної систем лінійних рівнянь.
- •11.Формули Крамера.
- •13. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса.
- •14.Означення вектора, абсолютної величини вектора,
- •15. Означення колінеарних векторів. Умова колінеарності векторів.
- •16.Скалярний добуток векторів. Умова перпендикулярності двох векторів. Кут між векторами.
- •18.Умови перпендикулярності і паралельності двох прямих. Як знайти точку перетину двох прямих.
- •19.Загальне рівняння прямої та рівняння прямої у відрізках на осях.
- •20. Канонічне та параметричне рівняння прямої Канонічне рівняння
- •21.Рівнянння прямої з кутовим коефіцієнтом.
- •22. Коло. Канонічне рівняння кола. Діаметр. Хорда.
- •23. Еліпс. Канонічне рівняння еліпса. Побудова еліпса. Ексцентриситет еліпса.
- •Канонічне рівняння Еліпса
- •Побудова Еліпса
- •24.Гіпербола. Канонічне рівняння гіперболи. Побудова гіперболи. Ексцентриситет гіперболи.
- •25.Парабола. Канонічне рівняння параболи. Побудова параболи.
- •26. Векторний добуток двох векторів.
- •27. Мішаний добуток трьох векторів.
- •28.Розклад вектора за базисом.
- •29. Функція. Область визначення та множина значень.
- •32.Екстремум функції. Необхідна умова існування екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •33. Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної.
- •34.Границя функції в точці. Основні теореми про границі. Чудові границі
- •Основні теореми про границі функцій
- •Чудові границі
- •35.Точка розриву функції,їх класифікація.
- •36.Похідна геометричний зміст похідної.
- •37.Правила диференціювання.
- •39. Періодичність функцій. Асимптоти графіка функції.
- •42.Застосування диференціалу функції в наближених обчисленнях.
- •45.Екстремум функції двох змінних. Стаціонарні точки.
- •46.Умовний екстремум функції двох змінних.
- •47.Первісна. Невизначений інтеграл.
- •48.Безпосереднє інтегрування.
- •49.Інтегрування частинами.
- •50. Інтегрування Методом підстановки (заміни змінної)
- •52. Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтегралу.
- •54.Метод підстановки для визначеного інтегралу.
- •55.Диференціальне рівняння. Порядок диференціального рівняння. Приклади диференціальних рівнянь.
- •56.Види розв’язків диференціального рівняння.
- •57. Початкові умови диференціального рівняння. Задача Коші.
- •58. Диференціальне рівняння з відокремленими змінними, та його загальний розв’язок.
- •59.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку, їх загальний розв’язок.
- •Бернуллі метод
6.Які матриці мають визначник? Правила обчислення визначників другого та третього порядків.
Кожна квадратна матриця має свій визначник, який позначають символом IАI. Прямокутна матриця у якої кількість рядків не дорівнює кількості стовбців визначника немає.
Визначник другого порядку записується так:
׀а11 а12 ׀
׀а21 а22׀
елементи а11 , та а22 складають головну діагональ, а елементи а12, а21 – побічну діагональ цього визначника.
Визначник третього порядку записується так:
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
7.Мінор та алгебраїчне доповнення елемента матриці.
Мінори М і g, елементи а і g називаються визначник, який утворюється із даного визначника викреслюваним і того рядка g = рядка
▲= а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
Алгебраїчним доповненням А g називають вираз-1і+у\ *М і у\
8. Яка матриця має собі обернену? Як знаходять та позначають обернену матрицю до матриці а ?
Квадратна матриця А має обернену тоді і тільки тоді, коли вона не вироджена. Обернена матриця для даної невиродженої матриці єдина. Для матриці А n-го порядку її знаходять за формулою А-1 =1/ IАI
9. Властивості визначників.
Визначники другого та третього порядків
Вираз
називається визначником другого порядку.
Вираз
називається визначником третього порядку.
Символи називаються елементами визначника, причому перший індекс показує номер рядка, а другий індекс – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Елементи у визначнику (1) і у визначнику (2) складають головну діагональ, а елементи у визначнику (1) і у визначнику (2) складають побічну діагональ.
Визначник третього порядку обчислюється за правилом трикутника: перші три доданки в правій частині формули (2) є добутками елементів, що на головній діагоналі і в вершинах двох трикутників, у яких одна сторона паралельна головній діагоналі. Аналогічно утворюються доданки зі знаком мінус, де за основу береться побічна діагональ.
Елементами визначника можуть бути числа, алгебраїчні чи тригонометричні вирази, функції.
Основні властивості визначників:
1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.
2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник поміняє знак.
3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.
4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю
5. Спільний множник, що мітиться в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.
6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
7. Якщо кожен елемент рядка ( стовпця) є сума двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у одного з яких рядок ( стовпець) складається з перших доданків, а у другого – з других; інші елементи усіх трьох визначників однакові.
8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.