58. Диференціальне рівняння з відокремленими змінними, та його загальний розв’язок.

Диференціальними називають такі рівняння, які містять незалежну змінну її шукану функцію та похідні різних порядків цієї функції або диференціалами.

Загальним розв’язком диференціального рівняння назвемо таку ф-ю, двох змінних х і с, яка при будь –якій сталій с, є розв’язком рівняння.

59.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку, їх загальний розв’язок.

днорідним диференціальним рівнянням пер-шого порядку називають рівняння, яке можна звести до вигляду

у'' = f(x,l/) ,де функція f(x,y) не змінюеться при заміні х ma у на tx ma ty, тобто задовольняе умову

f[tx,ty) = f[x,y).

Відмітимо, що функцію fyx,yj яка задовольняє вказану умову,

називають однорідною нульового виміру.

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку шляхом підстановки

_у

U — —

можна звести до рівняння з відокремлюваними змінними.

■ Приклад 7. Розв’язати рівняння у'

х + у

^ Розв’язання. Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку тому, що воно має вигляд (16) та для правої частини рівняння виконується умова:

60.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод Бернулі.

називається однорідним відносно та , якщо для будь-якого справедлива тотожність

Приклад 1. Рівняння є однорідним, бо

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки Тоді (тут покладено ). Змінні відокремлюються, оскільки після підстановки в рівняння дістанемо