1.4. Законы распределения наработки технического объекта

до отказа и между отказами

Время  работы до первого отказа и время ⁰ между соседними отказами являются важнейшими характеристиками надёжности, точнее, безотказности восстанавливаемых и невосстанавливаемых технических объектов (ТО) соответственно. Так, если ⁰ для компьютера меньше времени решения какой-либо задачи, то результаты вычислений, скорее всего, либо не будут получены, либо окажутся неверными. Чем меньше  и ⁰, тем выше эксплуатационные затраты на устранение отказов и меньше длительность пребывания ТО в работоспособном состоянии. Более серьезные последствия могут быть при полете самолета, для которого  меньше, чем продолжительность рейса.

В соответствии с ГОСТ 27.002-83 "Надёжность в технике" характеристики  и ⁰ называются наработкой до отказа и наработкой между отказами.

Из опыта известно, что  и ⁰ следует рассматривать для большинства ТО как случайные величины. Охарактеризуем вначале . Так как  - случайный промежуток времени от начала работы ТО до момента потери работоспособности, то наработка до первого отказа по своей физической природе является непрерывной величиной. Как известно, полная информация о непрерывной случайной величине содержится либо в законе (функции) распределения Q(t) случайной величины, либо в плотности вероятности случайной величины f(t). Функция Q(t) определяется как вероятность Р_ того, что  примет значение, не превосходящее времени t, при этом t не может быть отрицательным, т.е.

Q(t) = P {   t }, 0 t  (1.10)

Плотность f(t) представляет собой производную от Q(t).

Широкое применение в теории надёжности находит показательный, или, другими словами, экспоненциальный закон распределения. Строго говоря, он имеет место лишь в случаях, когда случайные события, представляющие отказы ТО, образуют так называемый простейший поток, т.е. такой процесс, который обладает свойствами ординарности, стационарности и отсутствием последействия. При этом наиболее простой аналитический вид Q(t) и другие вероятностные соотношения имеют, если в качестве основной характеристи­ки используется интенсивность отказов (t). Как отмечалось,

(1.11)

где P(t) - вероятность того, что время  до отказа будет больше t:

P(t) = P {  ≥ t } = 1 – Q(t). (1.12)

Из (1.12) видно, что функция P(t) несет столь же полную информацию о , как и Q(t) или f(t). Она представляет собой вероятность безотказной работы ТО и очень часто используется в расчетах надежности. В этой связи Р(t) называется функцией надежности.

Для простейшего потока интенсивность отказов (t) = const. На практике потоки отказов являются близкими к простейшим: для многих современных ТО на определенных участках этапа эксплуатации.

Так как для периода нормальной эксплуатации (t) =  = const для большинства рассматриваемых ТО, то имеет место экспоненциальный закон распределения случайной величины . При этом

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Эти зависимости могут быть получены различным образом. Наиболее просто они выводятся с использованием закона Пуассона

где F_k(t) - вероятность того, что в течение времени t произой­дет k отказов. Найдем вероятность того, что в течение времени t не произойдет ни одного отказа ("наступит" 0 отказов).

поскольку (t)⁰ и 0! равны 1. Вероятность F₀(t) является вероятностью того, что время до первого отказа не превосходит t, т.е. F₀(t) = P(t), откуда следует справедливость (1.15), а с учетом (1.12) - справедливость (1.13) и (1.14).

Эти же зависимости можно получить, используя (1.11). С учетом того, что

выражение (1.11) примет вид

Интегрируя обе части полученного выражения на отрезке (0, t), получим

λt = - ln P(t) .

После потенцирования этого выражения убедимся в справедливости (1.15).

Плотность распределения вероятности наработки до отказа представлена на рис.1.6.

Поскольку, то площадь под кривой f(t) равна 1, как для всякой плотности вероятности.

На практике большой интерес представляют такие показатели надёжности, как охарактеризованная в общем виде в 1.3 средняя наработка до отказа, представляющая согласно ГОСТ 27.002-83 ''Надежность в технике" математическое ожидание T₀ случайной величины , а также ее дисперсия D_ или среднее квадратичное отклонение σ_, . Показатель Т₀ характеризует  в среднем, является характеристикой положения  на оси времени, а _ характеризует рассеивание, разброс значений  относительно Т₀. В соответствии с зависимостью (1.8) найдем, что для экспоненциального закона

Заменим - t = x, тогда при t = 0, x = 0; при t = , х = -  ;

(1.16)

Следовательно, Т₀ является обратной величиной . Для определения _ используем известное выражение для дисперсии и (1.14). В результате получим, что

Интеграл под корнем берется по частям и равен откуда

(1.17)

То обстоятельство, что при экспоненциальном распределении величины  показатели Т₀ и _ совпадают, используется как подтверждение его справедливости, если полученные статистическим путем аналоги Т₀ и _ оказываются близкими по величине.

Отметим, что в приближенных расчетах используются зависимости

Q(t) ≈ λt, P(t) ≈ 1 – λt, (1.18)

которые получаются после разложения в ряд Тейлора до линейного члена. При этом, если t 0,1, ошибка в определении значений Q(t) и Р(t) не превышает 5%. Впрочем, для функции e^-x составлены подробные таблицы (см., например, [24] ), на большинстве компьютеров она вычисляется как встроенная.

Таким образом, если имеет место экспоненциальный закон распределения вероятностей наработки до первого отказа , то достаточно определить один из показателей , Т₀, _, чтобы рассчитать Q(t), P(t), f(t) для любых t. В этом смысле экспоненциальный закон является однопараметрическим, так как полностью определяется одним параметром, например интенсивностью отказов .

Можно показать, что если отказы ТО образуют простейший поток, то в связи с отсутствием последействия наработка между отказами ⁰ характеризуется точно так же, как и . В частности,

При этом ⁰ = [ t_i, t_i + 1 ], где t_i - момент возникновения i-го отказа ТО, i = 1,2,...; [ t_i, t_i + 1 ] промежуток времени между i-м и (i + 1)-м отказами.

В периоды приработки и износа, а также для некоторых ТО в период нормальной эксплуатации показательный закон для , ⁰ может оказаться неприемлемым. Наиболее распространенным в этих случаях законом распределения является нормальный. В первую очередь это относится к периоду износа и старения, для которого характерны постепенные отказы.

Как известно, при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от - до +. Пос­кольку временные случайные величины не могут иметь отрицательных значений, для них может быть использован лишь усеченный нормальный закон.

Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины. Так как возможные значения случайной величины  ограничены положительными значениями, то плотность вероятности для усеченного распределения

q(t) = c f(t),

где:

f(t) - плотность неусеченного распределения

, (1.19)

(Т₀ = a, _ =  обозначено для краткости записи);

С - нормирующий множитель, определяемый из условия

то есть

Так как нормальное распределение применяется обычно для описания отказов, возникающих вследствие износа и старения, то средняя наработка до отказа a имеет большую величину и a  .

В этом случае с большой степенью точности, поэтому С = 1 и, следовательно, можно пользоваться формулой обычного нормального распределения (1.19).

Определять значения q(t) при заданных t, а и  можно, используя таблицы, построенные для плотности вероятностей так называемой нормированной центрированной случайной величины с а = 0 и  = 1. Такая плотность имеет вид

Действительно, сравнивая q(t) и f₀(t), получим

(1.20)

Полезно знать, что f₀(-t) = f₀(t), ввиду симметрии кривой f₀(t) относительно оси координат.

Функция распределения для нормального закона определяется следующим образом:

(1.21)

Как известно, интеграл в формуле (1.21) не выражается через элементарные функции, поэтому для его вычисления пользуются таблицами специальной функции, которая называется нормированной функцией Лапласа:

(1.22)

Для этого упростим (1.20), применив следующие подстановки:

Получим

Таблицы для Ф(Z) имеют только положительные значения Z . Как быть в том случае, если t < а, и < 0? Для этого покажем, что Ф(-Z ) = = 1 – Ф(Z). Действительно,

Ввиду симметрии f₀(x)

Тогда получаем Ф(-Z) + Ф(Z) = 1 , откуда Ф(-Z) = 1 - Ф(Z).

Теперь легко записать характеристики надёжности при нормальном распределении случайной величины  в прежних обозначениях.

Зависимости основных показателей надёжности при нормальном распределении  представлены на рис. 1.7.

Как видно, закон нормального распределения  двухпараметрический. Его параметрами являются средняя наработка Т₀ до отказа (математическое ожидание случайной величины ) и среднее квадратичное отклонение _.

Аналогичным образом в периоды приработки, износа и старения может быть распределена вероятность случайной величины ⁰, представляющей наработку между отказами. На практике экспоненциальное и нормальное распределения  и ⁰ наиболее распространены. Для ряда ТО оказывается необходимым применение других распределений.

Лекция № 5. Математическая модель процесса эксплуатации восстанавливаемых объектов и систем.

Объекты и системы сервиса (ОСС), как правило, относятся к восстанавливаемым объектам. Поэтому для процесса их эксплуатации характерны такие элементы жизненного цикла, как контроль технического состояния и восстановление. Необходимость контроля вызывается тем, что ОСС должны выполнять в определенных условиях заданные функции с требуемыми количественными показателями. В то же время надежность системы с течением времени уменьшается под воздействием внутренних и внешних факторов. Отклонение управляющего процесса за допустимые пределы может привести к невыполнению боевой задачи, материальным потерям и т.п. Контроль технического состояния объекта позволяет оценивать степень работоспособности и при необходимости своевременно проводить восстановление объекта (техническое обслуживание). На практике различные виды контроля очень часто осуществляются через определенные периоды времени, другими словами, с определенной периодичностью. Они определяются временем, в течение которого снижение значения вероятности безотказной работы является допустимым. При гибком управлении процессом эксплуатации по фактическому техническому состоянию периодичность контроля может изменяться с учетом данных проверок.

Таким образом, процесс эксплуатации объекта можно представить в виде последовательности интервалов времени, в течение которых объект работоспособен _i и простаивает _i ,т.е. ₁, ₁, ₂, _2, … Математическая модель процесса эксплуатации объекта может быть представлена соответствующим случайным процессом. В общем виде случайный процесс, описывающий функционирование восстанавливаемого объекта во время эксплуатации, характеризуется тем, что распределения F₁(t), F₂(t), … и G₁(t), G₂(t), …соответствующих случайных величин ₁, ₂, … и ₁, ₂, … могут отличаться друг от друга.

Д ля простоты обычно рассматривают характеристики объектов до первого отказа или стационарные характеристики, т.е. F_i(t) = F(t), G_i(t) = G(t), что позволяет считать начальные состояния одинаковыми в вероятностном смысле.

Для стационарного случайного процесса математическая модель процесса эксплуатации имеет графическую интерпретацию (рис.6.1),

Рис. 6.1

где - время начала i-го контроля объекта, – время окончания i-го восстановления объекта, P_доп - допустимый уровень вероятности безотказной работы. В процессе восстановления надежность объекта повышается до предельного значения Р( ) = 1. Время восстановления является случайной величиной и зависит от многих факторов, например, характера неисправностей (отказов), времени диагностирования, технологического времени устранения отказа, наличия сил и средств в ремонтном органе и т.п.

Показатели надежности восстанавливаемого объекта

Надежность восстанавливаемого объекта характеризуется следующими основными свойствами: безотказностью, ремонтопригодностью, долговечностью и сохраняемостью.

Предположим, что восстановление объектов происходит практически мгновенно. Это будет справедливо для ремонтируемых объектов, у которых восстановление происходит не в процессе применения. К невосстанавливаемым в процессе применения относятся те объекты, отказ которых приводит к невыполнению поставленной задачи; при наличии резерва ремонт отказавшего участка резервированной группы не производится до окончания выполнения задачи.

Моменты отказов при эксплуатации таких объектов представляют последовательность случайных величин – значений наработки до отказа. При этом возможны два пути оценки надежности ремонтируемых объектов:

1. вычисление характеристик потока отказов;

2. вычисление характеристик времени между отказами.

В первом случае в качестве основного показателя безотказности обычно используется параметр потока отказов (t) – отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки.

Статистически (t) можно определить следующим образом:

(6.1)

где m_i (t) - число отказов у i-го образца за время t;

N₀ - число наблюдаемых образцов.

Среди всех потоков отказов, как отмечалось, особое место занимает так называемый простейший поток, который является основным типом потока отказов в сложных системах, работающих в стабильных условиях эксплуатации.

Напомним, что простейшим называется поток, одновременно удовлетворяющий трем условиям: стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Стационарность потока отказов означает, что вероятность появления ровно к отказов за промежуток времени от t₀ до t₀ + t не зависит от t₀ и является функцией переменных t и к.

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность появления к отказов в течение промежутка времени (t₀, t₀ + t) не зависит от того, сколько было отказов и как часто они возникали до этого промежутка.

Ординарность потока выражает условия практической невозможности появления двух и более событий за малый промежуток времени, т.е.

где вероятность появления более одного события за промежуток

времени .

Для простейшего потока отказов параметр потока (t) является постоянной величиной.

Во втором случае в качестве основного показателя безотказности используется средняя наработка на отказ – отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки T = 1/(t).

Показатели ремонтопригодности

Для характеристики ремонтопригодности используются следующие показатели: вероятность восстановления, среднее время восстановления, интенсивность восстановления. Эти показатели по вероятностному содержанию и математическому выражению аналогичны соответствующим характеристикам безотказности.

Вероятность восстановления работоспособного состояния – это вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния не превысит заданного, т.е.

P_в(t_в) = P {_в < t_в}.

В этом выражении _в - время, затрачиваемое на восстановление (очевидно, что _в - случайная величина), t_в - время, для которого определяется вероятность выполнения восстановления. Вероятность восстановления по вероятностному содержанию аналогична вероятности отказа. И та и другая характеристики являются функциями распределения: первая – случайного времени _в, вторая - .

Среднее время восстановления работоспособного состояния – математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния, т.е.

где f(t _в ) - плотность вероятности времени восстановления.

Интенсивность восстановления (t_в) - условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени t_в, отсчитываемого от момента начала восстановления, при условии, что до этого момента восстановления объекта не произошло.

Комплексные показатели надежности

Для характеристики надежности восстанавливаемых систем наряду с указанными выше одиночными показателями надежности, широко используются комплексные, которые отражают одновременно и безотказность, и ремонтопригодность объекта. К ним относятся коэффициенты: готовности, оперативной готовности, технического использования, планируемого применения, сохранения эффективности; для объектов военного назначения используется дополнительно коэффициент боевой готовности. Рассмотрим основные из них.

Коэффициент готовности К_Г - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Коэффициент готовности является предельным значением, к которому стремится так называемый нестационарный коэффициент готовности К_Г(t) определяемый как вероятность того, что объект окажется работоспособным в заданный момент времени, отсчитываемый от начала работы. Графики К_Г(t) и К_Г представлены на рис.6.2.

Статистически коэффициент готовности определяется следующим образом:

(6.2)

где t_i – наработка i-го образца;

t_вi - суммарное время восстановления i-го образца;

N₀ - число наблюдаемых образцов.

Рис. 6.2

Коэффициент оперативной готовности К_ог – вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается и, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

Дополнительным к коэффициенту готовности является коэффициент простоя К_п - вероятность того, что объект окажется неработоспособным в произвольно выбранный момент времени в установившемся (стационарном) процессе эксплуатации. Статистически коэффициент простоя определяется следующим образом:

(6.3)

Коэффициент готовности и коэффициент простоя связаны очевидным соотношением

К_г + K_п = 1.

Из определения коэффициента готовности следует, что он учитывает только время, затрачиваемое на восстановление объекта, но не учитывает время на проведение технического обслуживания.

Коэффициент технического использования К_ти – отношение математического ожидания интервалов времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания объекта в работоспособном состоянии, простоев, обусловленных техническим обслуживанием, и ремонтов за тот же период эксплуатации.

Статистически этот показатель надежности определяется следующим образом:

(6.4)

где t_pi - суммарное время, затраченное на техническое обслуживание i-го

образца.

Лекция № 6. Техническое диагностирование (ТД) ОСС.

Процесс эксплуатации сложных систем, к которым относятся ОСС, предполагает решение ряда крупных и важных проблем [23]: обеспечение высокой эффективности функционирования эксплуатируемой системы в установленные сроки, поддержания системы в готовности к применению в течение длительного срока эксплуатации; поддержание некоторого гарантированного количества изделий в системе в состоянии готовности; обеспечение высокой экономичности и безопасности выполнения эксплуатационных процессов. В связи с этим разработана система эксплуатации, главной задачей которой является постоянный контроль и поддержание технического состояния и надежности этих систем на уровне, достаточном для выполнения ими заданных функций или обеспечения готовности к применению.

Различают следующие виды контроля по целевому назначению:

• контроль функционирования (без количественной оценки);

• контроль работоспособности (количественный);

• диагностический контроль;

• прогнозирующий контроль;

• профилактический контроль (обнаружение элементов с параметрами,

близкими к предельным значениям, для последующей их замены).

Кроме указанного, существует ряд классификационных признаков контроля, в соответствии с которыми различают следующие виды контроля [23].

По оценке результатов контроля:

• допусковый (“да” – “нет”, “меньше” – “норма” – “больше”);

• количественный (определяются характеристики контролируемых параметров, например, напряжение).

По времени выполнения:

• непрерывный (в процессе работы);

• циклический (в процессе непрерывной работы);

• периодический (в течение всего срока эксплуатации).

По степени автоматизации контроля:

• ручной;

• полуавтоматический (автоматизированный);

• автоматический (без участия человека в процессе контроля).

По организации контроль делят на:

• программный;

• аппаратный (посредством специальных аппаратных средств);

• дистанционный;

• централизованный.

Эффективность контроля при эксплуатации системы зависит от выбора контролируемых параметров, процедуры контроля и принятия решений по результатам контроля.

Следует отметить, что неисправное и неработоспособное состояния, а также состояние неправильного функционирования объекта могут быть детализированы путем указания соответствующих дефектов, нарушающих исправность, работоспособность или правильность функционирования и относящихся к одной или нескольким составным частям объекта либо к объекту в целом [23].

Процессы обнаружения и поиски дефектов являются процессами определения фактического технического состояния объекта и объединяются общим термином “техническое диагностирование”. Задачами технического диагностирования являются проверка исправности, работоспособности и правильности функционирования объекта, а также задачи поиска дефектов, нарушающих исправность, работоспособность или правильность функционирования.

Для проверки работоспособности непрерывных объектов различают методы функционального и тестового диагностирования. К методам функционального диагностирования относят методы, основанные на анализе реакции объекта или его блоков путем сравнения с реакцией эталонной модели на рабочие воздействия, и методы, базирующиеся на анализе качества выпускаемой продукции. Методы тестового диагностирования различают по характеру входных (тестовых) воздействий и способам оценки реакции объекта (однократное или многократное воздействие, статическая или динамическая проверка).

Алгоритмы поиска дефектов строятся на основе принципов анализа показателей надежности. Распространенными являются так называемые информационные алгоритмы, основанные на использовании теории информации. Один из таких алгоритмов будет рассмотрен ниже.