Статистическое определение

Для статистического определения функций Р(t) и Q(t), как впрочем и других показателей надёжности, используются данные о следующем опыте по испытанию объектов. Испытанию подвергаются N₀ образцов. В процессе испытаний фиксируется наработка каж­дого образца до отказа t₁, t₂, ... , t_N0. По этим значениям оп­ределяется функция N(t) - число образцов, не отказавших к моменту времени t. Тогда статистически вероятность безотказ­ной работы может быть определена как отношение числа исправно работающих образцов в момент времени t к общему числу образ­цов, поставленных на испытание,

(1.3)

Показатели надёжности Р(t), Q(t) используются для характеристики как простейших элементов, так и сложных систем и даже комплексов.

1.3.2. Плотность распределения отказов.

Вероятностное определение

Так как  - непрерывная случайная величина, то она име­ет плотность вероятности f(t), которая в теории надёжности носит название плотности распределения отказов объекта.

При известных P(t) или Q(t) плотность распределения от­казов определяется следующим образом:

(1.4)

Отсюда, поскольку Р(0) = 1, Р(∞) = 0, следует, что

(1.5)

Статистическое определение

Статистически плотность распределения отказов определяет­ся как отношение числа отказов в единицу времени к первона­чальному общему числу образцов, подвергающихся испытанию, т.е.

(1.6)

Этот показатель надёжности используется в основном в теоретических исследованиях различных проблем надёжности.

1.3.3. Интенсивность отказов.

Вероятностное определение

Интенсивность отказов объекта (t) является важнейшим показателем надёжности, а для элементов представляет собой основную характеристику.

К понятию интенсивности отказов можно прийти, рассмотрев такую задачу.

Пусть объект проработал безотказно до момента t. Како­ва вероятность того, что он откажет на участке (t, t + t)?

Обозначим эту вероятность через Q(t, t+ t).

Пусть A - событие, означающее безотказную работу объекта на участке (0,t), а В - событие, означающее безотказную работу на участке (t, t + t). Тогда Р(t, t + t) есть условная вероятность

.

Но событие А ∙ В означает безотказную работу объекта на участке (0, t + t). Поэтому

Теперь легко определяется Q (t, t + t):

Величина носит название интенсивности отказов и представляет собой не что иное, как условную плотность вероятности отказа в момент t при условии, что до этого момента объект работал безотказно.

Статистическое определение

Статистическое определение можно получить следующим образом:

Отсюда видно, что статистически интенсивность отказов равна числу отказов, произошедших за единицу времени, отнесенных к числу не отказавших к данному времени образцов.

Из выражения может быть получено следующее важнейшее соотношение:

Отсюда (1.7)

Как было сказано выше, интенсивность отказов является основным показателем надёжности элементов. Многочисленные опытные данные показывают, что для многих элементов функция (t) имеет вид кривой (рис.1.5).

Из этого графика видно, что весь интервал времени работы элемента можно разбить на три участка. На первом из них функция (t) принимает большие значения. Это связано с тем обстоятельством, что в системах с большим числом элементов всегда имеются элементы со скрытыми дефектами, которые выходят из строя вскоре после начала работы. По этой причине первый период называют периодом приработки.

Второй период называется периодом нормальной эксплуатации. Чем характерен этот период? В то время как период приработки бывает очень непродолжительным и составляет обычно несколько десятков, в редких случаях, - сотни часов, период нормальной эксплуатации может продолжаться тысячи и десятки тысяч часов. Другое отличие этого периода заключается в том, что интенсивность отказов становится меньше и почти не изменяется. Это объясняется тем, что система состоит из полноценных элементов, срок изно­са которых еще не наступил. В этот период действуют в основном внезапные отказы.

Последний период - период износа и старения. C наступлением этого периода к внезапным отказам добавляются износовые, и общая интенсивность отказов начинает возрастать.

В заключение следует отметить, что как плотность распределения отказов, так и интенсивность отказов имеют размерность, обратную размерности времени. Большей частью эта размерность выражается в 1/час.

1.3.4. Средняя наработка до отказа.

Вероятностное определение

Как всякая непрерывная случайная величина, τ имеет математическое ожидание, которое называется в данном случае средней наработкой до отказа

Полезно преобразовать этот интеграл к другому виду, взяв его по частям:

или

(1.8)

В выражении t · P(t) при t → ∞ P(t) → 0 быстрее, чем t → ∞, в результате чего

Средняя наработка до отказа является удобным и распространенным показателем надёжности. Однако, как всякая числовая характеристика случайной величины. Т₀ не имеет полной информации о ней и в этом смысле не эквивалентна таким показателям, как Р(t), f(t),  (t).

Статистическое определение

Статистически средняя наработка до отказа определяется как отношение суммарного значения наработки каждого из образцов до появления отказа к общему числу образцов N₀, т.е.

(1.9)

1.3.5. Количественные показатели надежности восстанавливае­мых систем. В восстанавливаемых системах отказавший объект (элемент, узел, блок) восстанавливается, т.е. ремонтируется или заменяется работоспособным, после чего эксплуатация системы продолжается. Таким образом, для восстанавливаемого объекта характерно чередование периодов работы и периодов восстановления. Надёжность восстанавливаемых объектов характеризуется по меньшей мере тремя свойствами: безотказностью, ремонтопригодностью и долговечностью, которые более подробно будут рассмотрены в разделе 6.