Лекция 2 Двойственность. Класс самодвойственных функций.

Пусть формула А содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции

двойственной операции конъюнкции. Определение. Формулы А и А * называются двойственными, если формула А * получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

Например, для формулы А  (х y)&z двойственной формулой будет формула А *  (х& у)  z .

Теорема. Если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть

А*  В * .

Предварительно докажем лемму.

Лемма. Если для формулы A(x₁ ,x₂ ....x_n) двойственной формулой является А*( x₁ ,x₂ ....x_n), то справедлива равносильность А*(x₁, ..., x_n) = ( ₁, ..., _n).

(Доказательство леммы разбирается студентом самостоятельно см. Лихтарников «МЛ» стр. 28-29)

Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:

x	f	f*
0	0	1
1	0	1

Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:

x	f	f*	g	g*
0	0	0	1	1
1	1	1	0	0

так как f*(0)= (1).

Определение 1. Если f*(x₁, ..., x_n) = f(x₁, ..., x_n), то f(x₁, ..., x_n) называется самодвойственной.

Множество всех самодвойственных функций обозначается через S.

Если f*– самодвойственна, то ( ₁, ..., _n) = f(x₁, ..., x_n), т.е. на противоположных наборах функция принимает противоположные значения.

Пример 1. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1 х2 двойственна к функции x1|x2.

x1	x2	f=х1х2	f*	g=x1|x2	g*=x1 x2
0	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	0	0

Пример 2. Построить формулу, реализующую f*, если f = ((x y)  z) (y (xyz)). Покажем, что она эквивалентна формуле N = z(xy).

Найдем (xy)* и (x y)*.

x	y	xy	(xy)*	x y	(x y)*
0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	0

Из таблиц видно, что

(x y)* = x ~ y = = x y 1, x y = y x ,

(x y)* = y x y = y.

По принципу двойственности:

f* = yz ( (x (y z) 1)) = yz z(x (y z) 1) = z( y( x z )) = z( y (xz1)) = z( y (x )) = z y(z xz ) = z( yx ) = z(xy).

Тогда f = (f*)* = [z(xy)]* = z(x~y).