- •Лекция 2 Двойственность. Класс самодвойственных функций.
- •Пример 1. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1 х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Полнота, примеры полных систем
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •Следствие. Базис в р2 может состоять максимум из четырех функций.
- •Некоторые приложения алгебры логики.
- •2. Схемы функциональных элементов.
- •Решение логических задач методами алгебры логики.
Теорема Жегалкина
Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.
Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:
, s = 0, 1, ..., n.
Определение. Функция f(x1, ..., xn), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а0 а1х1 а2х2 ... аnхn, называется линейной.
Лемма о нелинейной функции. Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.
Определение: Говорят, что функция f(x1, ..., xn) сохраняет константу a {0, 1}, если f(a, …, a) = a.
Пример 4. Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция xy сохраняет 1 и не сохраняет 0.
Замыкание и замкнутые классы
Определение . Пусть MР2. Замыканием М называется множество всех функций из P2, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [M].
Определение . Множество функций М называется замкнутым классом, если [M]=M.
Пример 1.
1) P2 – замкнутый класс.
2) Множество {1,x1x2} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x1 x2}] = {f(x1, ..., xn) = c0 c1x1 cnxn}. Действительно, по определению формулы над М, функция f(G1, x3), где f – есть сумма по модулю 2, G1 – функция х1 х2, будет формулой над М: f(G1, x3) = (x1 x2) x3.
Замечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:
М – полная система, если [M] = P2.
Важнейшие замкнутые классы в р2
1) Т0 - класс функций, сохраняющих константу 0.
Т0 = { f(x1, ..., xn f(0, ..., 0) = 0, n = 1, 2, ...}.
Примеры функций, входящих в Т0:x1&x2, x1x2, xТ0и примеры функций из Р2, не входящих в Т0: x1|x2, x1 x2, Т0.
Число функций, зависящих от n переменных и принадлежащих Т0, будет равно
2) T1 – класс функций, сохраняющих константу 1.
T1 = {f(x1, ...) f(1, 1, ...) = 1};
Функции x1&x2, x1x2, xT1, х1х2, x1 x2T1, следовательно Т1 – собственное подмножество Р2.
3) S – класс самодвойственных функций.
S = {f(x1, ...)f* = f };
Функции x, , x1x2x3S, x1&x2, x1x2, x1x2S, следовательно, S – собственное подмножество Р2. |S(n)| = .
4) L – класс линейных функций.
L = {f(x1, ...) f = c0c1x1...cnxn};
Заметим, что тождественная функция принадлежит L и |L(n)| = 2n+1.
5) М – класс монотонных функций.
Определение. Набор = (1, ..., n) предшествует набору = (1, ..., n) и обозначается , если для 1in ii, например: = (0010), = (0110), тогда . Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования ( ) является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.
Определение. Функция f(x1, ..., xn) называется монотонной, если для двух наборов и , таких что , выполняется f( ) f( ).
Функции 0, 1, x, x1&x2, x1x2 M, x1x2, x1 x2, x1 ~ x2 M.
Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается.
Классы T0, T1, L, S, M пересекаются, но не совпадают, что видно из следующей таблицы, где «+» означает, что функция принадлежит данному классу и «-» – не принадлежит.
|
T0 |
T1 |
L |
S |
M |
x |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
- |
- |
+ |
+ |
- |
0 |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
1 |
- |
+ |
+ |
- |
+ |
x1x2 |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
A={x, , 0, 1, x1x2) не является полной системой функций так как всегда есть функции Р2 не входящие в эти классы.