- •Лекция 2 Двойственность. Класс самодвойственных функций.
- •Пример 1. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1 х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Полнота, примеры полных систем
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •Следствие. Базис в р2 может состоять максимум из четырех функций.
- •Некоторые приложения алгебры логики.
- •2. Схемы функциональных элементов.
- •Решение логических задач методами алгебры логики.
Теорема Поста о полноте
Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T0, T1, L, S, M.
Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р2, не совпадающий с Р2 содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T0, T1, L, S, M.
Примеры использования теоремы Поста.
Покажем, что система функций {f1 =x1x2, f2 =0, f3 =1, f4 = x1x2x3} полна в Р2. Составим таблицу, которая называется критериальной :
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
x1x2 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
0 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
x1x2x3 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
x1 x2 x3 |
x1x2x3 |
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 0 0 0 1 0 0 1 |
Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».
Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f2, f3, f4}L, {f1, f3, f4}T1, {f1, f2, f4}T0, {f1, f2, f3}M.
2 Мы знаем, что система {x1|x2} – полна в Р2. Составим для нее критериальная таблица? x1|x2= = x1x21.
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
x1|x2 |
- |
- |
- |
- |
- |
3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
0 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
1 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
x1x2 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
x1x2 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
Согласно критериальной таблице, полной является и система {0, 1, x1x2, x1x2}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где а равны 0, если члены х х ...х , в полиноме отсутствуют.
4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S\T0, то f(0, ..., 0) = 1, f(1, ..., 1)=0, следовательно, f M, f T1. Рассмотрим функцию h = x1x2 x2x3 x1x3=1, набор ее значений (11101000), h S\T0, но h L. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:
|
Т0 |
Т1 |
L |
M |
S |
L T1 |
- |
+ |
+ |
- |
- |
S\T0 |
- |
- |
- |
+ |
- |
и А – полная система функций.
Определение. Система функций {f1, ..., fs, ...} называется базисом в Р2,если она полна в Р2, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x1&x2, 0, 1, x1 x2 x3} – базис.