**Самостоятельная работа Символьные вычисления в Mathcad

Цель работы: изучить приёмы символьных вычислений и ознакомиться с возможностями символьного процессора Mathcad

Введение

Символьный процессор Mathcad позволяет решать широкий круг математических задач аналитически, не прибегая к численным методам. Это исключает погрешности вычислений и повышает точность расчётов. Получение результата в виде алгебраического выражения определяет широкие возможности использования его в дальнейшем.

Следует также понимать, что не всякое выражение поддаётся аналитическому преобразованию.

В Mathcad предусмотрены два способа осуществления символьных вычислений: при помощи команд меню и с использованием оператора символьного вывода. Если требуется быстро получить аналитический результат без сохранения или использования его в дальнейшем, целесообразно применять команды меню. В противном случае лучше применять операторы символьного вывода – операторы панели Symbolic.

С помощью меню возможны символьные операции над выражением, его частью или отдельной переменной. Для этого необходимо ввести выражение, выделить его целиком (или часть, или переменную в зависимости от типа символьной операции) и выбрать в главном меню Symbolics соответствующие специфические команды символьных преобразований: упрощение выражений (Symplife – упростить можно лишь простые, как правило, алгебраические или логарифмические выражения ); разложение выражений (Expand); разложение на множители (Factor); приведение подобных слагаемых (Collect); коэффициенты полиномов (Polynomial Coeffcients); разложение на простые дроби и т.д. После нажатия на клавишу Enter ниже появится результат преобразования.

С помощью рабочей панели Symbolic семейства Math возможны практически те же символьные операции, что и с меню, но проводятся специальными операторами. Они вводятся нажатием правой мыши на соответствующий пункт. В результате появляется ключевое слово, маркер слева, маркер (один, два, три или отсутствует) справа и оператор символьного вывода (горизонтальная стрелка). На место левого маркера вводится уравнение, на место правого – переменная, по которой оно должно быть решено. Далее необходимо нажать клавишу Enter. Возможен и другой порядок: вводится уравнение, выделяется все или нужная часть и вводится ключевое слово. Выводом результатов символьных операций можно управлять с помощью команды Evaluation Style.

В Mathcad предусмотрено также выполнение символьных операций с помощью сочетания клавиш.

Рассмотрим особенности символьных вычислений на примерах (рис.1).

Рис. 1

С помощью символьного процессора Mathcad возможно также аналитическое решение уравнений, матричные вычисления, интегрирование и дифференцирование функций, вычисление пределов, разложение в ряд Тейлора, интегральные преобразования Лапласа и Фурье, прямое и обратное z – преобразование. Эти операции выполняются в той же последовательности, что и предыдущие. Перед выполнением этих операций необходимо выделять переменную, к которой будет относиться операция.

Матричные операции транспонирование (Transpose), обратная матрица (Invert) и определитель (Determinant) можно организовать с помощью пункта меню Symvoics → Matrix → Transpose (Invert, Determinant). Предварительно необходимо ввести матрицу, выделить её и выполнить соответствующую операцию нажатием левой мыши. Результат появляется ниже ввода исходной матрицы (рис. 2):

Рис. 2

Решение алгебраических уравнений – Solve – рис. 3

Рис. 3

В тоже время при символьном решении сложных уравнений, содержащих специальные функции или параметры, а также тригонометрические функции, символьный процессор допускает ошибки. Поэтому обязательно нужно делать проверку или переходить к численным методам.

Дифференцирование и интегрирование (Differentiate, Integrate)

Дифференцирование возможно двумя путями:

- ввести аналитическое выражение, выделить его и переменную, по которой необходимо провести дифференцирование; выбрать команды главного меню Symbolics → Variable → Differentiate. В следующей строке появится результат;

- с помощью математической панели Calculus и оператора производной ввести аналитическое выражение, с панели Symbolic ввести → и нажав левую мышь, получить результат (рис. 4):

Рис. 4

Аналогично производится вычисление интеграла (рис. 5):

Рис. 5

Разложение в ряд Тейлора (Expand to Series)

Разложение в ряд Тейлора применяется при линеаризации дифференциальных уравнений (переход к уравнениям в приращениях) в окрестности рабочей точки. Предварительно нужно ввести выражение, выделить переменную и выполнить последовательность команд Symbolicx → Variable →Expand to Series → Order of Approximation (ввести желаемый порядок аппроксимации). Можно использовать также панель Symbolic → series и после ключевого слова ввести последовательно имя переменной и порядок аппроксимации. Разложение хорошо работает в окрестности точки х = 0 (рис. 6). Чтобы получить разложение в точке х = с, необходимо перейти к переменной у = х – с.

Прямое и обратное преобразование Лапласа (laplace, invlaplace)

Преобразование Лапласа

применяется при решении дифференциальных уравнений, расчёте переходных процессов в электрических цепях и анализе систем управления.

Предварительно нужно ввести выражение, выделить переменную и выполнить последовательность команд Symbolicx → Tranform → Laplace или использовать панель Symvolic → laplace. Аналогично выполняется и обратное преобразование Лапласа (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7

Прямое и обратное z-преобразование (ztrans, invtrans)

Z-преобразование функции f(x) определяется через бесконечную сумму следующего вида

.

Применяется при анализе цифровых систем управления и играет такую же роль, как и преобразование Лапласа в непрерывных системах. В Mathcad выполняется аналогично преобразованию Лапласа с помощью панели главного меню Symvolics → Z или математической панели Symvolic → ztrans. Для обратного z-преобразования используются операторы Symvolics → Inverse Z или Symvolic → invztrans (рис. 8).

Рис. 8

Порядок выполнения работы

Упростить выражение х =2, z = 4

.

Разложить на множители

Вычислить коэффициенты полинома

Разложить на элементарные дроби

Продифференцировать функцию по переменным х и у

Разложить в ряд Тейлора

Решить уравнение

Выполнить прямое и обратное преобразование Лапласа

Выполнить прямое и обратное Z-преобразование

Вопросы для самопроверки

Для каких целей служит символьный процессор Mathcad?

Как с помощью командного меню и математической панели можно решать аналитически алгебраические уравнения?

Почему необходимо проверять команду Simplify?

Что такое прямое и обратное преобразование Лапласа?

Какие аналитические вычисления можно выполнять с матрицами?

Какие символьные операции можно выполнять в Mathcad?

Как выполнить разложение функции в ряд Тейлора?

Можно ли менять способ вывод результатов символьных преобразований?

Литература

Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.: Питер, 2003. – 448с.: ил.

Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое знание, 2003. – 814с.: ил.

Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 576с.: ил.

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.

Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).