Лабораторная работа № 8 Алгебраические уравнения и линейная алгебра
Цель работы: выработать навыки использования различных программ для решения алгебраических уравнений и дать представления о возможностях пакета при выполнении действий над матрицами.
Введение
В пакете Mathcad матричные вычисления реализованы в виде операторов, написание которых по смыслу максимально приближено к их математическому смыслу. Матрицы должны иметь соответствующие размерности.
Для ввода матрицы необходимо использовать математическую панель Matrix. Простейшие действия с матрицами рассмотрим на примерах:
Матрицы определённого вида создаются с помощью следующих встроенных функций:
Отдельные части матрицы выделяются с помощью операторов:
Характеристики матриц можно получить с помощью следующих встроенных функций:
Последние встроенные функции позволяют вычислять числа обусловленности (condition number) квадратной матрицы в норме L1, L2, в евклидовой норме и в ∞ - норме. Число обусловленности связано с нормой матрицы:
Анализ линейных электрических цепей постоянного и переменного тока связан с решением систем линейных алгебраических уравнений, которые в матричной форме записываются как
где G, R – квадратные матрицы узловых проводимостей и контурных сопротивлений; φ, I, J, E – вектор - столбцы узловых потенциалов, контурных токов, узловых токов и контурных ЭДС. В Mathcad такие системы можно решать с помощью встроенной функции lsolve(…) или встроенного блока Given - Find:
Первый алгоритм – метод Гаусса, второй – линейный численный алгоритм.
При анализе и синтезе систем управления возникает задача поиска собственных векторов и собственных чисел квадратной матрицы А, которую называют матрицей состояния. Собственные числа матрицы А являются корнями характеристического уравнения системы управления. Для решения таких задач в Mathcad встроены функции [3]:
- eigenvals(A) – вычисляет вектор собственных значений матрицы А;
- eigenvecs(A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals(A);
- eigenvec(A,p) – вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения р.
Листинг применения этих функций представлен ниже:
Характеристическое полином системы определяется матричным уравнением
где I – единичная матрица, р – переменная. Это функция переменной р и её необходимо упростить с помощью математической панели Symbolic → simplify:
Полученное выражение является полиномом и его корни определяются с помощью функции polyroots(a), где а – вектор коэффициентов полинома. Первым в векторе должен идти свободный член полинома:
Корни полинома и собственные числа матрица А совпадают.
Для функции polyroots(a) предусмотрены два численных метода – метод полиномов Лаггера (установлен по умолчанию) и метод парной матрицы. Для смены метода необходимо вызвать меню, нажав правую мышь на слове polyroots и выбрать соответствующий метод.
Порядок выполнения работы
Введите матрицы
Выполните следующие математические операции: C = BT; D = A*B;
Q = A-10; trA; detA.
3. Для матрицы А определить её характеристики, собственные числа и числа обусловленности.
4. Решить систему линейных алгебраических уравнений
5. Решить матричное уравнение
Вопросы для самопроверки
Дайте определение матрицы и приведите примеры единичной и диагональной матриц.
Какие операции можно проводить с матрицами?
Что такое вырожденная и невырожденная матрицы?
Какие методы реализованы в Mathcad для решения СЛАУ?
Как рассчитываются собственные числа матриц?
Литература
Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.: Питер, 2003. – 448с.: ил.
Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое знание, 2003. – 814с.: ил.
Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 576с.: ил.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).