Аналіз заданого рівняння

В цій роботі необхідно розв’язати нелінійне рівняння 5-го порядку яке відповідно матиме п’ять коренів. Для того щоб розв’язати це рівняння заданими методами, а саме ньютона і простої ітерації, необхідно визначити початкове приблизне наближення, це можна зробити за допомогою графіка цього рівняння( рисунок 2.1 ), побудувавши його за допомогою математичного пакета Mathcad.

рисунок 2.1

Для того щоб точніше визначити значення початкового наближення необхідно збільшити цей графік (рисунок 2.2)

Рисунок 2.2

і тепер з цього графіка видно, що значення початкового наближення потрібно брати приблизно 0.08-0.1 і дійсно ці значення задовольняють необхідну умову оскільки при значенні х₀=0.1 (f’’(x₀))²=16,7, a добуток f’(x₀) f(x₀)=-3,8 , що є меншим за значення другої похідної піднесеної до квадрату.

Для знаходження комплексних коренів нелінійного рівняння окрім звичайних методів, які аналогічні тим, що використовуються для знаходження дійсних коренів, існує низка спеціальних методів, що дозволяють оцінювати комплексні корені проводячи обчислення з дійсними числами. Більшість цих методів базується на перетворені початкового нелінійного рівняння до добутку квадратичних співмножників типу: , де p i q – коефіцієнти, проміжною формою для здійснення такого перетворення є рівняння у вигляді:

.

Тому використавши цей метод і записавши наступну систему рівнянь:

знайдемо з неї приблизні значення комплексних коренів яких має бути чотири. Отже одержано дві пари таких значень: -0,88+ 1,8і; 1,35+ 1,34і;

Алгоритми методів

Алгоритм розв’язку нелінійного рівняння методом Ньютона за допомогою ЕОМ є досить простим і полягає в тому, що спочатку задається дане вихідне рівняння, його похідна, а також допустима похибка. Потім використовуючи вищеописану ітераційну формулу знаходять ряд значень х

(Х_n+1=X_n - ,

де х_n+1 – значення х на наступній ітерації, а х_n – значення х на попередній ітерації) і повторюємо цю операцію до тих пір, поки не виконається умова < Δ, тобто різниця значень наступної ітерації і попередньої менше за задану похибку.

Алгоритм розв’язку цього ж рівняння за методом простої ітерації полягає в тому, що спочатку вихідне рівняння потрібно привести до вигляду x=g(x), тобто виразити х з рівняння, а потім використовуючи формулу x₁=g(x₀), де відповідно х₁ – значення х на наступній ітерації, а х₀ – значення х на попередній ітерації. Знаходимо також ряд х до тих пір, поки не виконається умова < Δ, де Δ - задана допустима похибка.

РОЗДІЛ 4

РІШЕННЯ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ.

Системи нелінійних рівнянь можна розв’язувати наступними методами:

• Метод Ньютона;

• Метод ітерацій;

• Метод градієнта (найшвидшого спуску).