4. Дискретное wavelet-преобразование

4.1. Кратномасштабный анализ

Теория кратномасштабного анализа [3],[4] базируется на теории функциональных пространств.

Под кратномасштабным анализом пространства понимается описание исходного пространства через иерархические вложенные подпространства V_m, которые не пересекаются, и объединение которых дает нам в пределе , то есть

Далее, эти пространства имеют следующее свойство: для любой функции , ее сжатая версия будет принадлежать пространству ,

.

И, наконец, последнее свойство кратномасштабного анализа: существует такая функция , что ее сдвиги образуют ортонормированный базис пространства .

На рис. 10. схематично показаны данные вложенные пространства.

Так как функции образуют ортонормированный базис пространства , то функции

образуют ортонормированный базис пространства . Эти базисные функции называются масштабирующими [3]. Из кратномасштабного анализа, определенного выше, следует, что функция в может быть представлена множеством последовательных ее приближений в . Другими словами, функция есть предел аппроксимаций при m, стремящемся к минус бесконечности:

Отсюда появляется возможность анализа функции или сигнала на различных уровнях разрешения, или масштаба. Переменная m называется масштабным коэффициентом, или уровнем анализа. Если m велико, то функция в есть грубая аппроксимация и детали отсутствуют. При малых значениях m имеет место точная аппроксимация.

Рис. 10. Кратномасштабное представление .

Из определения кратномасштабного анализа следует, что все функции в могут быть представлены как линейная комбинация масштабирующих функций. В действительности, есть ортогональная проекция на ,

.

Так как , можно записать

, (26)

где - некоторая последовательность. Равенство (26) является одним из основных в теории wavelet -анализа и имеет различные названия в литературе. Чаще всего встречается название - масштабирующее уравнение (refinement equation).

Функция и последовательность тесно связаны между собой. Выведем соответствующие отношения. Из (26) можно получить

. (27)

Выполним операцию скалярного произведения с обеих сторон равенства (27):

(28)

Отметим, что это равенство выполняется для любого . Далее, если переписать (28) в частотной области, можно получить

. (29)

Рекурсивно повторяя формулу (29), получается выражение

. (30)

Итак, последовательность тесно связана с масштабирующей функцией. Кроме того, концепция кратномасштабного анализа накладывает на нее дополнительные ограничения.

Во-первых, интегрируя (26) по всей числовой оси , можно получить

. (31)

Во-вторых, в силу ортонормальности базисных функций,

.

Третье свойство последовательности сформулируем в спектральной области. Из записи условия ортонормальности функций в области спектра

можно получить следующее выражение:

. (32)

Равенство (27) эквивалентно тому, что . Тогда из (32) следует, что .