3.5. Свойства cwt

Данный допустимый wavelet , то есть такой, что (см. (5)), соответствующий CWT W_ : s(x)  S(a,b) - линейное отображение, со следующими свойствами:

(1) W_ - ковариантно при переносе и расширении (изменение масштаба):

(12)

(13)

(2) W_Y сохраняет энергию сигнала:

(14)

Соотношение (14) означает, что отображение W_ изометрия из пространства сигналов L² (R) на закрытое подпространство L² (R²₊ , dadb/a² ). Эквивалентная формулировка - то, что wavelet W_ генерирует решение тождества:

(15)

(3) Как следствие, отображение W_ обратимо, и обратное преобразование - просто сопряженное с W_ . Таким образом, сигнал s(x) может быть восстановлен из преобразования формулой:

(16)

Это означает что, CWT обеспечивает разложение сигнала как линейное наложение wavelet-ов _ab с коэффициентами S(a,b) — точно так, как для преобразования Фурье.

(4) Проекция из L²(R₊², dadb/a²) на W_ , то есть пространство wavelet преобразований, является составным оператором, чьё ядро

(17)

является автокорреляционной функцией . Это также называется воспроизводящим ядром, потому что формулировка выше означает в точности, что функция f L²(R²₊, dadb/a²) - это CWT некоторых сигналов тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойству воспроизведения:

(18)

Замечание: соотношение (16) означает, что wavelet , используется и для анализа и для восстановления. Это необязательное ограничение. Действительно, можно восстанавливать сигнал, используя wavelet c отличающийся от анализирующего wavelet-а  :

(19)

если c и  удовлетворяют условию совместимости

. (20)

Таким образом, можно получать более простые формулы, в частности для восстановления (как показано первоначально Morlet-ом).

3.6. Примеры непрерывного wavelet-преобразования

Вычисление CWT.

Пусть s (t) - анализируемый сигнал. Материнский wavelet выбирается так, чтобы служить прототипом всех окон в процессе вычисления. Все окна - это расширенные (или сжатые) и смещенные версии материнского wavelet’а. Имеется ряд функций, которые используются для этой цели Если материнский wavelet выбран, вычисляется непрерывное wavelet-преобразование вначале для a = 1, а затем для всех значений a ( меньших и больших 1 ). Однако в полном преобразовании обычно нет необходимости. Для практических целей обычно достаточно произвести вычисления для ограниченного интервала значений масштаба.

Для удобства процедура будет начата с масштаба a=1 и продолжится для увеличивающихся значений a, т.е. анализ начнется с высоких частот и перейдет к низким частотам. Это первое значение a будет соответствовать наиболее сжатому wavelet. Поскольку если значение a увеличивается, wavelet расширяется.

Wavelet помещается в начало сигнала в точку, которая соответствует нулевому моменту времени. Wavelet-функция в масштабе " 1 " умножается на сигнал и затем интегрируется по всей временной оси. Результат интегрирования затем умножается на константу 1/sqrt(a). Это умножение необходимо для нормализации энергии так, чтобы преобразованный сигнал имел одинаковую энергию при любом значении масштаба.

Конечный результат - значение непрерывного wavelet-преобразования в точке  =0, a=1.

Wavelet в масштабе a=1 затем сдвигается вправо на величину , и вычисляется значение преобразования в точке t=, a=1.

Эта процедура повторяется, пока wavelet не достигнет конца сигнала. Затем a увеличивается на маленькое значение, и вся процедура выполняется для каждого значения a. Вычисление для каждого конкретного значения s заполняет соответствующую полосу на плоскости "время - масштаб". Когда процесс завершен для всех значений a, CWT сигнала вычислено.

Очевидно, что произведение отлично от нуля только на носителе wavelet-функции. Посредством сдвига wavelet по времени сигнал локализуется во времени, а благодаря изменению значения a, сигнал локализуется в масштабе (частоте).

Если сигнал имеет спектральную компоненту, которая соответствует текущему значению a (1 в данном случае), произведение wavelet с сигналом в точке, где эта спектральная компонента существует, дает относительно большое значение. Если такая спектральная компонента не представлена в сигнале, значение произведения будет относительно малым или равным нулю. С другой стороны, для крупных масштабов непрерывное wavelet-преобразование даст большие значения для почти всей продолжительность сигнала, так как низкие частоты присутствуют все время.

Самый простой способ состоит в том, чтобы попрактиковаться на очень простом академическом сигнале, типа простого разрыва во времени или монохроматического сигнала (чистой синусоиды).

Мы теперь анализируем два академических сигнала, упомянутый выше. Ось масштаба, в единицах a, указывает вниз, так, чтобы высокие частоты (малые a) соответствовали вершине графиков, и низкие частоты (большие a) к низу. Результаты представлены кодированием значений коэффициентов цветом от белого до черного.

Простой разрыв.

Самый простой сигнал - простой разрыв во времени, при x = x₀, смоделированный как s(x)=d(x-x₀). Полученный CWT выглядит так:

(21)

Следующие особенности видны из уравнения (21):

• Фаза S(a, b) постоянна на линиях, b/a = константа, возникающая из точки b= x₀ на горизонте: эти линии указывают на положение особенности, подобно пальцу.

• На тех же самых линиях постоянного фазы модуль S(a,b) увеличивается как a^-0.5, при a  0. Результат даже более явен, если используется L¹ нормализация.

Единственная монохроматическая волна.

Рассмотрим комплексный сигнал с единственной гармоникой (монохроматическая волна):

, (22)

который дает:

(23)

Те же самые соотношения остаются истинными для реального монохроматического сигнала, s(x) = sin(w_sx) или s(x)=cos(w_sx), если wavelet  такой, что .

Еще два важных свойства следуют из (23):

• модуль S(a, b) независит от b:

(24)

График | S (a, b) | состоит из горизонтальных полос, и профиль для фиксированного времени b по существу воспроизводит профиль "подокна " .

• Фаза S(a,b) линейна по b

Рис.8. CWT дельта функции (t-256) с a=1:32, t=1:512 с использованием wavelet-а Мейера

Рис. 9. CWT синусоидального сигнала с a=1:32, t=1:512 с использованием wavelet-а Mexican Hat.