4.2. Wavelet-ряды дискретного времени

В большинстве приложений мы имеем дело с дискретными сигналами. Поэтому, с точки зрения практики представляют интерес дискретные аналоги CWT . К сожалению, формулы для wavelet-преобразования дискретного времени нельзя получить простой дискретизацией соответствующих формул для непрерывного времени. Также невозможно определить кратномасштабный анализ для дискретных сигналов, так как не существует базисных функций, масштабированные и смещенные версии которых давали бы нам базис пространства , пространства квадратично суммируемых последовательностей бесконечной длины.

Рассмотрим сначала, как можно получить представление CWT в виде wavelet-рядов для дискретного времени (DTWS -discrete time wavelet set).

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Наш дискретный сигнал представим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается :

.

где . Другими словами, мы интерпретируем наш сигнал как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции . Тогда мы можем вычислить аппроксимации этой функции, принадлежащие пространствам . Пространства не имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа, функция декомпозируется на две функции и :

.

Таким образом, получили две новые последовательности, и . Этот процесс может быть продолжен для и функция (а также и последовательность ) будет представлена совокупностью коэффициентов .

Однако вычисления пока зависят от непрерывных функций и . Поэтому покажем, как вычисления DTWS могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами.

С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, можно получить:

(32)

Так что оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов и без непосредственного использования функций и . По аналогии с (32) можно записать для произвольного ,

(33)

(34)

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности и называются wavelet-фильтрами. Отметим, что и имеют "половинную" длину по сравнению с , хотя на данном этапе все последовательности бесконечны. Таким образом, не вводится избыточность.

Обратный процесс заключается в получении из и :

(35)

Отметим, что в данном случае суммирование производится по другим переменным по сравнению с формулами (33) и (34). Длина последовательности вдвое больше длины последовательности или .

Подставляя (33) и (34) в (35), получаем следующие ограничения на фильтры и :

, (36)

, (37)

. (38)

Выражение (36) для временной области эквивалентно выражениям (28) и (32) для частотной. Равенства (38) и (38) уже появлялись ранее, но в менее общей форме.

На практике DTWS должно применяться к сигналам конечной длины. Получившееся преобразование называется "дискретное wavelet-преобразование" (DWT).

Вначале опишем DWT в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях мы предполагаем, что базисные функции и компактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностей и . Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину .